Salvador Vera

320 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
b) En el caso de dos variables, también puede estudiarse la naturaleza del
punto crítico estudiamos el signo del determinante:
∆=
¬
Lλλ Lλx Lλy
Lxλ Lxx Lxy
Lyλ Lyx Lyy
¬ =
¬
0 gx gy
gx Lxx Lxy
gy Lyx Lyy
¬
= −→mínimo
=+→ Máximo
=0→ duda
Resolvamos el ejemplo 4.72 mediante el método de los multiplicadores de
Lagrange.
Ejemplo 4.74. Hallar el mínimodelafunción f(x, y) =x 2 +y 2 condicionado
por la restricción x+y −1 =0,medianteelmétodo de los multiplicadores
de Lagrange.
Solución. Formamos la función de Lagrange:
Que, en nuestro caso, es:
L(x, y, λ) =f(x, y)+λg(x, y)
L(x, y, λ) =x 2 + y 2 + λ(x + y − 1)
Los puntos críticos de esta función vendrán determinados por las soluciones
del sistema:
Lx ≡ 2x + λ =0 λ = −2x
− 2x = −2y ⇒ x = y
Ly ≡ 2y + λ =0 λ = −2y
Lλ ≡ x + y − 1=0 x + y =1→ 2x =1→ x = 1 1
→ y =
2 2
Luego el único punto crítico es el punto p( 1
2
raleza estudiamos el signo del determinante:
De donde,
∆=
∆L( 1 1
, ; −1) =
2 2
¬
0 gx gy
gx Lxx Lxy
gy Lyx Lyy
¬
¬
1 , 2 ). Para determinar su natu-
= −→mínimo
=+→ Máximo
=0→ duda
0
1
1
2
1
0
1 0 2¬
= −2 − 2=−4 ⇒ mínimo
Ejemplo 4.75. Inscribir un rectángulo de área máxima, con los lados paralelos
a los ejes de coordenadas, en la región del primer cuadrante limitada
por la parábola y =3− x 2 y los ejes de coordenadas.