Salvador Vera

1.3. FUNCIONES 25
Esto lo indicaremos de la siguiente forma,
D⊆A f −→ B obien f : D⊆A → B
f : x ↦→ y, obien y = f(x)
Esta definición admite la posibilidad de que la función pueda no estar
definida para ciertos elementos de A, así como que haya elementos de B que
no sean imágenes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B
puede haber elementos no relacionados mediante la función f. Y además,
admite la consideración de funciones para las cuales los conjuntos A y B no
son necesariamente de números reales. Sin embargo, la definición presenta
un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo que
deba interpretarse por ✭✭regla de correspondencia✮✮.
Una forma más precisa de definir el concepto de función consiste en
imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que están
relacionados entre sí. La función, así concebida, sería un conjunto de pares
ordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados
no define una función, ya que el primer elemento de las parejas no se puede
repetir dentro del conjunto. La función, así concebida, sería un conjunto, y
la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gráfica de la
función. La definición, en estos términos, es la siguiente:
Definición 1.10 (Función). Sean A y B conjuntos (no vacíos y no necesariamente
distintos). Una función de A a B es un conjunto f de pares
ordenados de A×B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b ′ ) son elementos
de f, entoncesb = b ′ .
f = {(a, b) ∈ A × B/(a, b) ∈ f y (a, b ′ ) ∈ f ⇒ b = b ′ }
Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepción de las
funciones: una estática, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra
dinámica, como una transformación del primer elemento de cada par en el
segundo b = f(a).
Si (a, b) es un elemento de una función f, entonces, en vez de escribir
(a, b) ∈ f, se escribe:
b = f(a) ó f : a ↦→ b
es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f
en el punto a, olaimagen de a bajo f.
Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos
haciendo es eliminar la posibilidad de definir una función mediante la que
se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 será 2o−2, según nos
convenga en cada caso.
Dominio y recorrido de una función