Salvador Vera

214 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
∂f
f(0, 0+k) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
∂y k→0 k
=lím
k→0
0 · k2 02 − 0
+ k2 k
f(0,k) − f(0, 0)
=lím
=
k→0 k
0
=lím
k→0 k =lím
k→0 0=0
Ejemplo 4.3. Calcular, aplicando la definición, las dos derivadas parciales
de la función f(x, y) =2x 2 − xy + y 2 , en el punto p(1, 0).
Solución.
∂f
f(1 + h, 0) − f(0, 0)
(1, 0) = límh→0
=
∂x h
2(1 + h)
=lím
h→0
2 − (1 + h) · 0+02 − (2 − 0+0)
=
h
2(1 + 2h + h
=lím
h→0
2 ) − 2 2+4h +2h
=lím
h
h→0
2 − 2
=
h
4h +2h
=lím
h→0
2
=lím(4
+ 2h) =4
h h→0
∂f
f(1, 0+k) − f(1, 0) f(1,k) − f(1, 0)
(1, 0) = límk→0
=límk→0
=
∂y k
k
2 · 1
=lím
k→0
2 − 1 · k + k2 − (2) 2 − k + k
=lím
k
0→0
2 − 2
=
k
−k + k
=lím
k→0
2
=lím(−1+k)
=−1
k k→0
4.1.3. La función derivada parcial
Si hallamos las derivadas parciales de una función de dos variables z =
f(x, y) en un punto genérico (x, y) desudominio,obtenemos,asuvez,
funciones de dos variables, llamadas funciones derivadas parciales. Así:
∂f
(x, y) =lím
∂x h→0
f(x + h, y) − f(x, y)
h
, ∂f
f(x, y + k) − f(x, y)
(x, y) =lím
∂y k→0 k
Ejemplo 4.4. Hallar, aplicando la definición, las derivadas parciales de la
función:
f(x, y) =x 2 y 3 +5
Solución.
∂f
f(x + h, y) − f(x, y)
(x, y) =lím
∂x h→0 h
=lím
h→0
=2xy 3
x 2 y 3 +2hxy 3 + h 2 y 3 +5− x 2 y 3 − 5
h
(x + h)
=lím
h→0
2y3 +5− (x2y3 +5)
h
=lím
h→0
2hxy 3 + h 2 y 3
h
=
=