Salvador Vera

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR189
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales
Ejemplo 3.45. Hallar el 5 o polinomio de MacLaurin de las siguientes funciones
y generalizarlo para el n-simo polinomio.
1. f(x) =e x
2. f(x) =senx 3. f(x) =cosx
Solución. El 5 o polinomio de Taylor en el origen para una función f viene
definido por:
f(x) =f(0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)
2 x2 + f ′′′ (0)
6 x3 + f iv (0)
24 x4 + f v (0)
120 x5
Por consiguiente:
1. f(x) =e x
f(x) =e x f(0) = 1
f ′ (x) =e x f ′ (0) = 1
f ′′ (x) =e x f ′′ (0) = 1
f ′′′ (x) =e x f ′′′ (0) = 1
f iv (x) =e x f iv (0) = 1
f v (x) =e x f v (0) = 1
2. f(x) =senx
f(x) =senx f(0) = 0
f ′ (x) =cosx f ′ (0) = 1
f ′′ (x) =− sen x f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) =− cos xf ′′′ (0) = −1
f iv (x) =senx f iv (0) = 0
f v (x) =cosx f v (0) = 1
3. f(x) =cosx
f(x) =cosx f(0) = 1
f ′ (x) =− sen x f ′ (0) = 0
f ′′ (x) =− cos xf ′′ (0) = −1
f ′′′ (x) =senx f ′′′ (0) = 0
f iv (x) =cosx f iv (0) = 1
f v (x) =− sen xf v (0) = 0
Resulta el siguiente polinomio de Taylor,
ex ≈ 1+x + x2 x3 x4 x5
+ + +
2! 3! 4! 5!
y de manera general
ex n x
≈
k
k!
k=0
Resulta el siguiente polinomio,
sen x ≈ x − x3 x5
+
3! 5!
y de manera general
sen x ≈
n
k=0
k x2k+1
(−1)
(2k +1)!
Resulta el siguiente polinomio,
cos x ≈ 1 − x2 x4
+
2! 4!
y de manera general
cos x ≈
n
k=0
k x2k
(−1)
(2k)!
Ejemplo 3.46. Hallar el 4 o polinomio de MacLaurin de la función:
f(x) =(1+x) r
Generalizarlo para el n-simo polinomio, y aplicarlo para calcular:
√
(1 + x)
2,
1
1+x , √ 1+x, (1 + x) 3