Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 131
Ejemplo 2.30. Calcular los siguientes límites:
1. lím
(x,y)→(1,3)
3. lím
(x,y)→(1,1)
5. lím
(x,y)→(0,3)
6x − 2y
9x 2 − y 2 2. lím
(x,y)→(1,1)
(x 3 − 1)(y 4 − 1)
(x − 1)(y 2 − 1)
1+x 2 y 1
x 2
Solución.
6x − 2y
1. lím
(x,y)→(1,3) 9x2 − y
æ
x2 − 1
2. lím
(x,y)→(1,1)
=[0]=
lím
2 0 (x,y)→(1,3)
4. lím
(x,y)→(0,0)
2(3x − y)
(3x) 2 =
− y2 æ
x2 − 1 y − 1
+
x − 1 y2 − 1
x2 + y2
x2 + y2 +1− 1
2(3x − y)
2 2 1
= lím
= lím
= =
(x,y)→(1,3) (3x + y)(3x − y) (x,y)→(1,3) (3x + y) 6 3
y − 1
+
x − 1 y2 é
0 0
=[ +
− 1 0 0 ]=
(x +1)(x−1) y − 1 0 0
= lím
+
=[ +
(x,y)→(1,1) x − 1 (y +1)(y−1) 0 0 ]=
1 1 5
= lím x +1+ =2+ =
(x,y)→(1,1) y +1 2 2
(x
3. lím
(x,y)→(1,1)
3 − 1)(y4 − 1)
(x − 1)(y2 − 1) =[0
0 ]=
4. lím
(x,y)→(0,0)
(x − 1)(x
= lím
(x,y)→(1,1)
2 + x +1)(y2 +1)(y2−1) (x − 1)(y2 =
− 1)
= lím
(x,y)→(1,1) (x2 + x +1)(y 2 +1)=3· 2=6
x2 + y2 =[
x2 + y2 +1− 1 0
0 ]=
(x
= lím
(x,y)→(0,0)
2 + y2 )( x2 + y2 +1+1)
x2 + y2 =
+1− 1
(x
= lím
(x,y)→(0,0)
2 + y2 )( x2 + y2 +1+1)
x2 + y2 = lím
(x,y)→(0,0)
=
é
x 2 + y 2 +1+1= 2
1
2
5. lím 1+x y x
(x,y)→(0,3)
2 =[1 ∞ å 1
2
]= lím (1 + x y) x
(x,y)→(0,3)
2 è x
y
2 y
x2 Aquí sehatenidoencuentaladefinición del número e,
1
lím (1 + z) z = e
z→0
= e 3