Salvador Vera

306 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
f(x0,y0) esmáximo relativo ⇔ f(x, y) ≤ f(x0,y0) ∀(x, y) ∈Bx0
Es decir, al igual que en el caso de funciones de una variable, la función f
tendrá unmáximo (mínimo) local en x0 ∈Dsi f(x0) es el valor más grande
(más pequeño, respectivamente) de todos los valores de f(x) para x en una
bola de centro en x0.
Puntos críticos. Se llaman puntos críticos de una función a aquellos puntos
en los que el gradiente vale cero o no está definido, es decir,
1. Puntos en los que todas las derivadas parciales valen cero (simultáneamente).
fx(x0,y0) =0 y fy(x0,y0) =0
2. Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no está definida.
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✠ mínimo
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fx(x0,y0) o fy(x0,y0) no existe
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✲
✲
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✲
✲
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Máximo
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mínimo
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Máximo
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Punto silla
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Figura 4.23: Puntos críticos.
En el primer caso, si f es diferenciable, sería ∇f(x0,y0) = 0 y, por
tanto, todas las derivadas direccionales en (x0,y0) deben ser nulas y en
consecuencia todas las rectas tangentes a la superficie en el punto (x0,y0)
son horizontales, lo que significa que el plano tangente a la superficie en
dicho punto es un plano horizontal. En el segundo caso, al no existir alguna
de las derivadas parciales en el punto (x0,y0), la función no es diferenciable
en dicho punto y por tanto carece de plano tangente en el mismo. Lo que,
gráficamente, significa que se trata de un punto “anguloso”. En consecuencia,
en ambos casos tenemos puntos candidatos a extremos relativos.
No podemos asegurar la existencia de extremo relativo ya que, en ambos
casos, puede darse la situación de un ✭✭punto silla✮✮.
Definición 4.22 (Punto silla). Si un punto crítico (x0,y0) no corresponde
ni a máximo ni mínimo relativo, entonces el punto de la superficie
(x0,y0,f(x0,y0)) se llama punto silla.
Es decir, (x0,y0) corresponde a un punto silla si en todo disco abierto
centrado en (x0,y0) la función toma valores por encima y por debajo de
f(x0,y0)
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