Salvador Vera

240 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
tenemos que
lím
(h,k)→(0,0) f (x0,y0)+(h, k) = lím
(h,k)→(0,0)
luego la función es continua en p =(x0,y0).
f(x0,y0)+Ah+Bk+r(h, k) = f(x0,y0)
El recíproco no es cierto, ya que existen funciones continuas que no son
diferenciables.
Ejemplo 4.22. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente función y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
xy si (x, y) = (0, 0)
f(x, y) = x2 + y2
0 si (x, y) =(0, 0)
Solución.
(a) Continuidad en (0, 0):
xy
lím = lím
(x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x
y
=0· Acot =0=f(0, 0)
x2 + y2 luego la función es continua en (0, 0)
(b) Diferenciabilidad en (0, 0): Calculamos las derivadas parciales aplicando
la definición.
∂f
f(0 + h, 0) − f(0, 0) f(h, 0) − 0
(0, 0) = lím
=lím
=lím
∂x h→0 h
h→0 h h→0
h · 0
√
h2 +02 h
=0
∂f
f(0, 0+k) − f(0, 0) f(0,k) − 0
(0, 0) = lím
=lím
=lím
∂y k→0 k
k→0 k
k→0
luego, el candidato a diferencial es:
λ(h, k) =0h +0k =0
Por otro lado, el incremento de la función es:
∆f(0, 0) = f(0 + h, 0+k) − f(0, 0) = f(h, k) − 0=
luego, resulta el siguiente límite
lím
(h,k)→(0,0)
r(h, k)
∆f − λ(h, k)
= lím √ = lím
(h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k2 (h,k)→(0,0)
hk
= lím
(h,k)→(0,0) h2 = lím
+ k2 0 · k
√ 0 2 + k 2
k
hk
√ h 2 + k 2
hk
√
h2 + k2 √
h2 + k2 =0
− 0
=
hmh
k=mh h
h→0
2 + m2 m
=
h2 1+m2 Luego el límite no existe, por depender de m, y en consecuencia la
función no es diferenciable en (0, 0). Al no ser diferenciable resulta
que df (0, 0) no existe, con lo cual λ(h, k) =0h +0k = 0 no tiene
ninguna significación.