Salvador Vera

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 155
Sin embargo, existen funciones que son continuas pero que no son derivables.
Ejemplo 3.3. Comprobar que la función f(x) =|x 2 − 4| es continua en el
punto x =2, pero no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado
gráficamente. ¿En qué otro punto tampoco será derivable?.
Solución.
y
✻
✲ x
−2 2
Figura 3.10: f(x) =|x 2 − 4|
a) f es continua en x =2
lím f(x) =lím
x→2 x→2 |x2 − 4| = |0| =0=f(0)
b) f no es derivable en x =2
f ′ (2) = lím
=
lím
x→2+
x→2
f(x) − f(2)
x − 2
|x 2 − 4|
x − 2
|x
lím
x→2−
2 − 4|
x − 2
=lím
x→2
|x 2 − 4|
x − 2 =
(x +2)(x−2) = lím
=4
x→2+ x − 2
−(x +2)(x−2) = lím
= −4
x→2− x − 2
Luego la función no es derivable en x =2.
Ejemplo 3.4. Comprobar que la función f(x) = 3√ x es continua en el
punto x =0, pero no es derivable en ese punto. Comprueba el resultado
gráficamente.
Solución.
a) f es continua en x =0
3√
x =0=f(0)
lím f(x) =lím
x→0 x→0
b) f no es derivable en x =0
f ′ f(x) − f(0)
3√ x − 0 x 3
(0) = lím
=lím =lím
x→0 x − 0 x→0 x x→0
Luego la función no es derivable en x =0.
y
✻
✲ x
=lím
x2 x→0
Ö 1
3
=+∞
x2 Figura 3.11: Gráfica de la función f(x) = 3√ x. No es derivable en el origen