Salvador Vera

5.7. INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS 367
calculamos los coeficientes dando valores a x
x =0 → 1=N + A
x =1 → 1=(M + N)2 + 2A − 2(A + B)
x = −1 → 1=(−M + N)2 + 2A +2(−A + B)
x =2 → 1=(2M + N)5 + 5A − 4(2A + B)
N + A =1
2M +2N − 2B =1
−2M +2N +2B =1
10M +5N − 3A − 4B =1
luego,
dx
=
(1 + x) 2
3a +2 a
4 a − 2 · 2 a
N + A =1
2M +2N +2A − 2A − 2B =1
−2M +2N +2A − 2A +2B =1
10M +5N +5A − 8A − 4B =1
A =1− N
2M +2N − 2B =1
4N =2→ N =1/2
6M + N − 3A = −1
A =1/2
2M − 2B =0
N =1/2
6M − 3A = −3/2
A =1/2
B = M
N =1/2
6M =0
1/2 dx d 1/2 x
+
1+x2 dx 1+x2
1
dx = arc tg x +
2
A =1/2
B =0
N =1/2
M =0
x
2(1 + x2 + C
)
5.7. Integración de expresiones trigonométricas
5.7.1. Integración de potencias de funciones trigonométricas
Consideremos integrales del tipo:
sen m x cos n xdx
existen dos casos para los que se puede resolver la integral,
1. Si alguno de los exponentes es un número impar y positivo, se separa
uno para el diferencial y el resto se transforma en el contrario, mediante
la formula fundamental de la trigonometría sen 2 x +cos 2 x = 1, y
al contrario se le llama t. El segundo coeficiente puede ser cualquier
número real.
Por ejemplo, si m =2k + 1 , entonces,
sen 2k+1 x =sen 2k x · sen x =(sen 2 x) k
sen x =( 1 − cos2 k
x) sen x
2. Si los dos exponentes son pares positivos, se van rebajando los grados
con las siguientes fórmulas trigonométricas.
sen 2 α =
1 − cos 2α
2
Ejemplo 5.63. Hallar la integral
cos 2 α = 1+cos2α
2
sen 3 x cos 2 xdx