Salvador Vera

218 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
con lo cual, para cualquier número t ∈ R, resulta:
te1 =(t, 0, ··· , 0), te2 =(0,t,··· , 0), ··· ,ten =(0, 0, ··· ,t)
de donde, para cualquier punto p ∈ R n ,decoordenadasp =(x1,x2, ··· ,xn), se tiene:
p + tei =(x1,x2, ··· ,xn)+(0, ··· ,t,··· , 0) = (x1,x2, ··· ,xi + t, ··· ,xn)
Es decir, p + tei tiene las mismas coordenadas que p, salvo la i-ésima coordenada que se
ha incrementado en t. En consecuencia, podemos enunciar la siguiente definición:
Definición 4.2 (Derivadas parciales). Sea f : D⊆R n → R una función definida en
el conjunto abierto 1 D de R n ,yseap ∈D. Se define la derivada parcial de f con respecto
asui-ésima variable en el punto p, comoelsiguientelímite, si existe y es finito:
∂f
f(p + tei) − f(p)
(p) =lím
∂xi t→0 t
Del mismo modo puede definirse la derivada parcial en un punto genérico x ∈D,
como
∂f
f(x + tei) − f(x)
(x) =lím
∂xi t→0 t
4.1.5. Razón de cambio
Las derivadas parciales también pueden interpretarse como la razón de cambio
instantáneo de la función respecto de una variable, mientras la otra
permanece fija. Así,
∂f
∂x (x0,y0) Se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la
función f cuando se conserva fija la variable y y varía la x.
∂f
∂y (x0,y0) Se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la
función f cuando se conserva fija la variable x y varía la y.
Es decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variación parcial de
la función con respecto a cada variable, cuando las demás se mantienen fijas.
Ejemplo 4.8. Un cilindro recto tiene 4 cm. de radio y 20 cm. de altura. Hallar
la razón de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto
de la altura.
Solución. Tenemos que V = πr 2 h, luego:
Para hallar la razón de cambio del volumen respecto del radio, r, fijamos
1 La razón de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto
abierto D (dominio de la función), es para poder asegurar que para t ∈ R pequeño, se tenga
p + tei ∈Dyqueasítengasentidolaexpresión f(p + tei) que aparece en la definición de
derivada parcial. No obstante, este requisito puede reemplazarse por la exigencia de que
p sea un punto interior del dominio. Es decir, para poder hablar de la derivada de una
función en un punto, la función tiene que estar definida en cierto entorno del punto.