Salvador Vera

346CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Ejemplo 5.19. Hallar d t2 cos x
dt 0
2 dx
Solución. d t2 cos x
dt 0
2 dx = cos(t 2 ) 2 · 2t =2tcos t 4
Derivada de integrales cuando los dos límites son funciones
Aplicando los resultados anteriores, resulta,
g(x)
d
f(t) dt =
dx h(x)
d
dx
= d
h(x)
− f(t) dt +
dx
Es decir,
a
g(x)
h(x)
a
h(x)
g(x)
a
f(t) dt +
f(t) dt
Ejemplo 5.20. Hallar d x3 dx x2 ln tdt
g(x)
Solución. Aplicando la fórmula (5.2) resulta,
d
dx
f(t) dt =
a
′ ′
= −f[h(x)]h (x)+f[g(x)]g (x) =
= f[g(x)]g ′ (x) − f[h(x)]h ′ (x)
f(t) dt = f[g(x)]g ′ (x) − f[h(x)]h ′ (x) (5.2)
x3 x2 ln tdt=lnx 3 · 3x 2 − ln x 2 · 2x =9x 2 ln x − 4x ln x = 9x 2 − 4x ln x
√ x
Ejemplo 5.21. Hallar d
dx
1/x
cos t 2 dt x > 0
Solución. Aplicando la fórmula (5.2) resulta,
d
dx
√ x
1/x
cos t 2 dt = cos( √ x) 2 · 1
2 √ x − cos 1
x
Ejemplo 5.22. Hallar el límite lím
x→0 +
2 −1 1
· =
x2 2 √ x
Ê x 2
0 sen √ tdt
x 3
1 1
cos x + cos
x2 x2 Solución. La sustitución directa da la indeterminación 0/0 queserompe
aplicando la Regla de L’Hôpital. En efecto,
lím
x→0 +
Ê x2 0 sen √ tdt
x3 =
0
0
Ejemplo 5.23. Hallar el límite lím
x→0
= lím
x→0 +
sen x · 2x
3x2 Ê x0 cos t 2 dt
x
= lím
x→0 +
2x2 2
=
3x2 3