Salvador Vera

300 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Yademás: Fy(1, 0) = e 0 − 3=1− 3=−2 = 0. Luego podemos afirmar la
existencia de la función y = f(x) quecumplef(1) = 0 y que es derivable en
x =1.
En virtud del teorema de la función implícita tenemos:
f ′ (x) = −Fx(x, y)
Fy(x, y)
3x2
=
ey − 3 → f ′ (1) = 3
= −3
−2 2
y teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x)
en el punto P (1, 0) viene definida por:
y = f(1) + f ′ (1) · (x − 1)
resulta: y =0− 3
(x − 1) → 3x +2y =3
2
Ejemplo 4.62. Dada la ecuación x 2 + y 2 =2
(a) Justificar que la ecuación x 2 + y 2 =2define, en un entono del punto
(1, 1), una función y = y(x)
(b) Calcular y ′ (1), y ′′ (1)
Solución. (a) Para que quede garantizada la existencia de la función y =
y(x), deberán cumplirse las tres condiciones siguientes:
El punto (1, 1) cumple la ecuación. En efecto 1 2 +1 2 =1+1=2
Las derivadas parciales de la función F (x, y) =x 2 + y 2 − 2 son continuas en
un entorno del punto (1, 1). En efecto,
Fx =2x Fy =2y que son continuas en R 2
Fy(1, 1) = 0. En efecto, Fy(1, 1) = 2 = 0
Luego existe la función y = y(x).Queenestecasoesy =+ √ 2 − x2 .
(b) Para calcular las derivadas podemos aplicar las reglas de derivación. En
efecto,
x 2 + y 2 =2 → 2x +2yy ′ =0 → y ′ = −x
y → y′ (1) = −1
= −1
1
y derivando nuevamente,
2+2y ′ y ′ +2yy ′′ =0 → 1+(y ′ ) 2 +yy ′′ =0 → y ′′ = −1 − (y′ ) 2
y
= −2
1
= −2
Nota: Hay que aclarar que los papeles de las letras x e y son perfectamente
intercambiables. Así, si la función z = F (x, y) es tal que en el punto (x0,y0)
vale cero, F (x0,y0) = 0, que en una bola con centro en (x0,y0) tiene derivadas
parciales continuas y que su derivada respecto de x es distinta de