Salvador Vera

152 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.3. La pendiente de la recta tangente
y
f(x)
f(x0)
✻
x0
Q
y = f(x)
✲x f(x) − f(x0) P
✟
✟
x − x0
✟✟✟✟
α
✟
✟
✟
x
Figura 3.7: Pendiente de la recta tangente.
3.1.4. Definición de derivada
El valor aproximado de la pendiente
de la recta tangente sería:
tan α
Y su valor exacto:
f(x) − f(x0)
x − x0
f(x) − f(x0)
tan α = lím
x→x0 x − x0
Definición 3.2 (Derivada en un punto). Sea x0 un punto interior de
Df . Se llama derivada de la función f en el punto x0 al siguiente límite si
existe y es finito.
Observaciones:
f ′ f(x) − f(x0)
(x0) = lím
x→x0 x − x0
Cuando dicho límite sea infinito se dice que la función no es derivable, aunque
tiene derivada infinita. (gráficamente significa que la recta tangente en ese punto
es vertical).
Para que la derivada exista el punto x0 tiene que ser un punto interior del dominio,
es decir, la función tiene que estar definida en un entorno del punto, con objeto de
que cuando x → 0 el valor f(x) que aparece en el numerador esté definido.
No olvidar que la derivada es un límite, aunque buscaremos reglas para calcular
derivadas sin tener que hacer dicho límite.
A la expresión
forma:
f(x) − f(x0)
, se le llama cociente incremental y se expresa de la
x − x0
△f △y f(x) − f(x0)
= =
△x △x x − x0
Conlocualladerivadanoesmás que el límite del cociente incremental cuando el
incremento de x tiende a cero.
f ′ △f(x0)
(x0) = lím
△x→0 △x
3.1.5. Otra forma de la derivada
Tenemos que:
f ′ (x0) = lím
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0