Salvador Vera

224 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Teorema 4.1 (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas). Si f es
una función de dos variables x e y y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas
en una región abierta R, entonces se tiene que las derivadas parciales
cruzadas coinciden para cada (x, y) de R,
fxy(x, y) =fyx(x, y)
Este teorema se llama Teorema de Schwartz, y puede enunciarse en términos
más restrictivo de la siguiente forma
Teorema 4.2 (Teorema de Schwartz). Sea f : D⊆R 2 → R una función
definida en el abierto D de R 2 . Si las derivadas parciales fxy : D ⊆ R 2 → R
y fyx : D ⊆ R 2 → R existen y son funciones continuas en D, entonces
fxy = fyx
El teorema de Schwartz también puede enunciarse en los siguientes términos:
Si fx, fy, yfxy son continuas en un entorno del punto (x0,y0), entonces
existe fyx(x0,y0) yseverificafyx(x0,y0) =fxy(x0,y0).
Ejemplo 4.13. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función
f(x, y) =x 2 ye x2 +y 2
Solución.
fx =2xyex2 +y2 + x2y 2xex2 +y2 =(2x3y +2xy)ex2 +y2 fxx =(6x2y +2y)ex2 +y2 +(2x3y +2xy) 2xex2 +y2 =
=(4x4y +10x2y +2y)ex2 +y2 fxy =(2x3 +2x)ex2 +y2 +(2x3y +2xy) 2yex2 +y2 =
=(4x3y2 +2x3 +4xy2 +2x)ex2 +y2 fy = x2ex2 +y2 + x2y 2yex2 +y2 =(2x2y2 + x2 )ex2 +y2 fyx =(4xy2 +2x)ex2 +y2 +(2x2y2 + x2 ) 2xex2 +y2 =
=(4x3y2 +2x3 +4xy2 +2x)ex2 +y2 fyy =4x2yex2 +y2 +(2x2y2 + x2 ) 2yex2 +y2 =(4x2y3 +6x2y)ex2 +y2 Ejemplo 4.14. Comprobar que las derivadas parciales cruzadas de la siguiente
función, en el punto (0, 0) no coinciden.
Solución.
f(x, y) =
x 3 y − xy 3
x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)