Salvador Vera

176 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Indeterminaciones del tipo 0 ·∞
Se transforman en una indeterminación del tipo 0 ∞
0 ,o ∞ , mediante operaciones
algebraicas,o bien, mediante las siguientes transformaciones
f(x) · g(x) = f(x)
1/g(x)
x − 1
Ejemplo 3.30. Calcular: lím x ln
x→+∞ x +1
Solución.
x − 1
lím x ln
x→+∞ x +1 = ä ∞·0 ç x − 1
ln
= lím
x +1
x→+∞ 1
x
= lím
x→+∞
x +1x
+1− x +1
x − 1 (x +1) 2
− 1
x2 = lím
x→+∞
−2x 2
x 2 − 1
Indeterminaciones del tipo ∞−∞
f(x) · g(x) = g(x)
1/f(x)
= lím
x→+∞
= ä0ç
=
0
2
(x − 1)(x +1)
− 1
x 2
=
ä∞ç
−4x −4
= = lím = = −2
∞ x→+∞ 2x 2
Se transforman en una indeterminación del tipo 0 ∞
0 ,o ∞ , mediante operaciones
algebraicas, como puede ser: buscando un común denominador, multiplicando
y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes
transformaciones:
A − B = A 1 − B
A
A − B = AB 1 1
− =
B A
= 1 − B
A
1
A
1
B
− 1
A
1
AB
Ejemplo 3.31. Calcular los siguientes límites:
1 1
1. lím − 2. lím x2 +3x− x
x→+0 x sen x
x→+∞
Solución.
1. lím
x→+0
= lím
x→+0
1 1
−
x
sen x
sen x − x
x 2
ä ç sen x − x
= ∞−∞ = lím
x→+0 x sen x
= ä0ç
cos x − 1
= lím =
0 x→+0 2x
ä0
0
ä0ç
= =
0
ç
= lím
x→+0
− sen x
2
=0