Salvador Vera

338CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Solución. Sacamos factor común 1/n y el resto lo expresamos en función de
k/n. Téngase en cuenta que la falta de un rectángulo infinitesimal no afecta
al resultado.
1 2 n − 1
+ + ···+
n2 n2 n2 1 1 2 n − 1
= lím + + ···+ =
n→∞ n n n n
n−1
1 1 2 n − 1 1 k
= lím 0+ + + ···+ = lím
n→∞ n n n n n→∞ n n
k=0
=
1
xdx=
0
x2 1 1
= =
2 0 2
lím
n→∞
Intervalo de integración distinto del ä 0, 1 ç
En el cálculo de límites mediante integrales, el intervalo de integración puede
ser cualquiera. En efecto, si utilizamos una partición regular, la integral entre
ä a, b ç de una función continua se puede expresar de la siguiente forma:
y
✻
y = f(x)
✲x ax1x2 ··· b
x1 = a +
Figura 5.9:
b − a
n , x2
b − a
= a +2
n
Al dividir el intervalo ä a, b ç en n partes
iguales, la base de cada uno de los n
rectángulos infinitesimales será: ∆x =
b − a
, y por lo tanto las coordenadas de
n
los puntos x1, x2, ... serán:
2
= a + (b − a), ...
n
... xk = a + k
b − a
n
k
= a + (b − a) ...
n
Y tomando f(xi) como altura de los rectángulos, resulta:
b
b − a b − a
b − a
f(x) dx = lím f(x1) + f(x2) + ···+ f(xn) =
a
n→∞ n n n
b − a
= lím f(x1)+f(x2)+···+ f(xn) =
n→∞ n
b − a n
b − a n
= lím f(xk) = lím f
n→∞ n
n→∞ n
a + k
(b − a)
n
k=1
k=1
Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos:
b − a n k
b
lím f a + (b − a) = f(x) dx
n→∞ n
n
k=1
a