Salvador Vera

272 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Se tiene que:
∂f
∂x1
···
∂f
∂xn
(x1,x2, ··· ,xn) = ∂f1
∂x1
(x1,x2, ··· ,xn), ∂f2
∂x1
(x1,x2, ··· ,xn) = ∂f1
(x1,x2, ··· ,xn),
∂xn
∂f2
∂xn
Ejemplo 4.47. Hallar las derivadas parciales de la función
f(x, y, z) =(xe y cos z, xe y sen z, tan z)
Solución. Derivando componente a componente, se tiene,
fx =(e y cos z, e y sen z, 0)
fy =(xe y cos z, xe y sen z, 0)
fz =(−xe y sen z, xe y cos z, 1+tan 2 z)
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables
(x1,x2, ··· ,xn), ··· , ∂fm
(x1,x2, ··· ,xn)
∂x1
(x1,x2, ··· ,xn), ··· , ∂fm
(x1,x2, ··· ,xn)
∂xn
En la definición 4.4 de la página 236 se estableció, para funciones numéricas de una sola
variable, que: Una función f : D ∈ R → R es diferenciable en x0
constante A tal que
∈ D si existe una
f(x0 + h) =f(x0)+Ah + r(h) con
r(h)
lím
h→0 h =0
En tal caso, a la expresión lineal λ(h) =Ah se le llama diferencial de f, ysetiene:
df (x0) =λ(h) =Ah = f ′ (x0) dx
En la definición 4.7 de la página 243 se estableció, para funciones numéricas de n variables,
que: Una función f : D⊆R n → R es diferenciable en el punto x0 =(x1, ··· ,xn) ∈D,si
existen n constantes Ai, i =1, 2, ··· ,n tales que
f(x0 + h) =f(x0)+
n
i=1
En tal caso, a la expresión lineal λ(h1, ··· ,hn) = Èn y se tiene:
df (x0) =λ(h) =
n
i=1
Aihi =
n
i=1
r(h)
Aihi + r(h) con lím
h→0 h =0
i=1
Aihi se le llama diferencial de f,
∂f
(x0)dxi =
∂xi
∂f
(x0)dx1+
∂x1
∂f
(x0)dx2+···+
∂x2
∂f
(x0)dxn
∂xn
En cada uno de los casos, la diferencial de una función en un punto aparece como
una aplicación lineal que se aproxima a la función f en ese punto. Se trata de generalizar
esta importante noción a las funciones de varias variables, ya tengan imágenes reales o
vectoriales.
La generalización se va a hacer por la vía de definir la diferencial como una aplicación
lineal/. Recuérdese que una aplicación λ(h, k) es lineal si cumple la propiedad λ(ah, bk) =
aλ(h, k)+bλ(h, k), siendo a y b números. Recuérdese también la relación de las aplicaciones
lineales con las matrices. Así, se establece la siguiente definición:
Definición 4.17 (Funciones diferenciables). Una función f : D⊆R n → R m se dice
diferenciable en el punto x0 =(x1, ··· ,xn) ∈D, si existen una aplicación lineal λ(h) tal
que
r(h)
f(x0 + h) =f(x0)+λ(h)+r(h) con lím = 0
h→0 h