Salvador Vera

238 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
2. El residuo r(h, k) definido en la expresión:
tiene la propiedad
f (x0,y0)+(h, k) = f(x0,y0)+Ah + Bk + r(h, k)
r(h, k)
lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
Esta definición de diferenciabilidad sí que garantiza la continuidad de la
función en aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las
funciones de una variable.
Nota: Con objeto de recorda mejor la expresión,ellímite que caracteriza
la diferenciabilidad se puede expresar de la siguiente forma:
lím
(h,k)→(0,0)
r(h, k)
f
= lím
(h, k) (h,k)→(0,0)
(x0,y0)+(h, k) − f(x0,y0) − Ah − Bk
√
h2 + k2 Y llamando ∆f = f(x0 + h, y0 + k) − f(x0,y0) yλ(h, k) =Ah + Bk resulta
lím
(h,k)→(0,0)
r(h, k)
∆f − λ(h, k)
= lím √ =0 (4.2)
(h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k2 Con lo cual la proposición 4.2 se puede enunciar de la siguiente forma:
Corolario 4.1 (Caracterización de la diferenciabilidad). La función
f : D⊆R 2 → R definida en un conjunto abierto D de R 2 , es diferenciable
en el punto p =(x0,y0) ∈D,si:
1. Existen las derivadas parciales de f en p
2. El siguiente límite vale cero:
lím
(h,k)→(0,0)
A = ∂f
∂x (x0,y0), B = ∂f
∂y (x0,y0)
r(h, k)
∆f − λ(h, k)
= lím √
(h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k2 =0
donde, ∆f = f(x0 + h, y0 + k) − f(x0,y0) y λ(h, k) =Ah + Bk
Proposición 4.3 (Segunda forma de la diferenciabilidad). Una función
f dada por z = f(x, y) es diferenciable en (x, y) si ∆z puede expresarse
en la forma
∆z = fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y + ε1∆x + ε2∆y
donde ambos ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0).