Salvador Vera

308 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
del punto crítico.
f(1, 2) = 1
✻
✲
f(x, y) =3x
✠
Figura 4.24: mínimo.
2 + y 2 − 6x − 4y +8=
=3(x 2 − 2x)+y 2 − 4y +8=
=3(x 2 − 2x +1− 1) + y 2 − 4y +4− 4+8=
=3(x−1) 2 − 3+(y − 2) 2 − 4+8=
=3(x−1) 2 +(y − 2) 2 +1≥ 1
Resulta que para cualquier punto (x, y) setienequef(x, y) ≥ f(1, 2), luego
f(1, 2) es un mínimo (absoluto).
Ejemplo 4.67. Determinar los extremos relativos de la función:
f(x, y) =1−
x 2 + y 2
Solución. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes
puntos críticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales
no está definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas.
fx(x, y) =
fy(x, y) =−
2x
2 x2 =
+ y2 −2y
2 x2 =
+ y2 −x
x2 + y2 −y
x2 + y2 Donde el único punto crítico es el punto (0, 0), en donde no están definidas
ninguna de las dos derivadas parciales. Para estudiar la naturaleza del punto
crítico p(0, 0) comparamos el valor de la función en el punto crítico con el
valor de la función en los alrededores del punto crítico.
✲ y
z ✻(0,
0, 1)
❅
❅
❅
x
✠
Figura 4.25: máximo.
f(0, 0) = 1
f(x, y) =1− x 2 + y 2 ≤ 1
Resulta que para cualquier punto (x, y) del plano
se tiene que f(x, y) ≤ f(0, 0), luego f(0, 0) es un
máximo (absoluto).
b) Criterio de los cortes con los planos verticales.
Para comprobar que en un punto críticonoexistenimáximo ni mínimo
cortamos la superficie mediante planos verticales que pasen por el punto