Salvador Vera

4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 229
El concepto de derivada direccional generaliza el concepto de derivada
parcial, de manera que las derivadas parciales pueden obtenerse como casos
particulares de las derivadas direccionales. Así, fx es la derivada direccional
en la dirección del vector (1, 0) y fy en la dirección del vector (0, 1), es decir:
fx(p) =Duf(p) para u =(1, 0) fy(p) =Duf(p) para u =(0, 1)
Se debe observar que puede existir la derivada direccional de una función,
en un punto, con respecto a un vector, y sin embargo, puede suceder que no
exista la derivada direccional con respecto a otro vector.
Ejemplo 4.17. Hallar la derivada direccional de f(x, y) =x 2 +3xy 2 en
el punto p(1, 2), en la dirección que apunta hacia el origen.
Solución. Hallamos el vector director y comprobamos su módulo.
v = −→ po= o − p =(0, 0) − (1, 2) = (−1, −2) → |v | = √ 1+4= √ 5 = 1
luego,
u = v
|v | =
de donde,
−1
√5 , −2
√
5
−1
→ p+tu =(1, 2)+t
f(p) =f(1, 2) = 1 2 +3· 1 · 2 2 =1+12=13
f(p + tu)=f
1 − t
√5 , 2 − 2t
√ 5
=1 − 2t
√ 5 + t2
5 +
=
3 − 3t
√5
1 − t
√5
4 − 8t
√5 , −2
√ =
5
2
+3
√5 + 4t2
5
t
1− √5 , 2− 2t
√
5
2 t 2t
1 − √5 2 − √5 =
=
=1 − 2t
√ +
5 t2 24t
+12− √ +
5 5 12t2 12t
− √ +
5 5 24t2 12t3
−
5 5 √ 5 =
=13− 38t
√ +
5 37t2 12t3
−
5 5 √ 5
con lo que resulta,
13 −
f(p + tu) − f(p)
Dvf(1, 2) = lím
=lím
t→0 t
t→0
38t
√ +
5 37t2
5
t
−38
=lím √5 +
t→0
37t 12t2
−
5 5 √
−38
= √5
5
12t3
−
5 √ − 13
5
El que la derivada direccional sea negativa significa que la función decrece
en esa dirección.
Cálculo de la derivada direccional conocido el ángulo director.
=