Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

102 CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente
A
A
C
B
C
C
p( x)
P B
p(x) N(x) N(x) N(x)
x
dx
x
dx
Figura 2.11 Barra
con área de su sección
transversal variable y
fuerza axial variable.
L
(a) (b) (c)
El alargamiento dd del elemento diferencial (figura 2.11c) se puede
obtener a partir de la ecuación d = PL/EA sustituyendo N(x) por P, dx por
L y A(x) por A, como sigue:
d
N(x)
dx
EA(x)
(2.6)
El alargamiento de toda la barra se obtiene integrando sobre la longitud:
d
L
0
d
L
0
N(
x) dx (2.7)
EA(
x)
Si las expresiones para N(x) y A(x) no son muy complicadas, la integral se
puede evaluar de manera analítica y se obtiene una fórmula para d, como se
ilustra más adelante en el ejemplo 2.4. Sin embargo, si la integración formal
es difícil o imposible, se utilizará un método numérico para su evaluación.
Limitaciones
Las ecuaciones (2.5) y (2.7) sólo se aplican a barras hechas de materiales
linealmente elásticos, como se muestra por la presencia del módulo de
elasticidad E en las fórmulas. Además, la fórmula d = PL/EA se obtuvo
suponiendo que la distribución de esfuerzos es uniforme sobre cada sección
transversal (debido a que se basa en la fórmula s = P/A). Esta suposición
es válida para barras prismáticas pero no para barras ahusadas, y por tanto
la ecuación (2.7) da resultados satisfactorios para una barra ahusada sólo si
el ángulo entre los lados de la barra es pequeño.
Como ilustración, si el ángulo entre los lados de una barra es 20°, el
esfuerzo calculado con la expresión s = P/A (en una sección transversal
seleccionada arbitrariamente) es 3 por ciento menor que el esfuerzo exacto
para la misma sección transversal (calculada mediante métodos más
avanzados). Para ángulos menores el error es aún menor. En consecuencia,
podemos decir que la ecuación (2.7) es satisfactoria si el ángulo de ahusamiento
es pequeño. Si el ahusamiento es grande, se necesitan métodos de
análisis más exactos (referencia 2.1).
Los ejemplos siguientes ilustran la determinación de los cambios de
longitudes de barras no uniformes.