Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

716 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
Ejemplo 9.10
A
P
B
Determine el ángulo de rotación u B y la deflexión d B en el extremo libre de una viga en
voladizo AB que soporta una carga concentrada P (figura 9.24). (Nota: la viga tiene
longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)
O
y
A
PL
—
EI
C
L
Figura 9.24 Ejemplo 9.10. Viga en
voladizo con una carga concentrada.
x
B
d B
u B
x
Solución
Por inspección de la viga y su carga sabemos que el ángulo de rotación u B es
en el sentido de las manecillas del reloj y que la deflexión d B es hacia abajo (figura
9.24). Por tanto, podemos utilizar valores absolutos al aplicar los teoremas de áreamomento.
Diagrama M/EI. El diagrama del momento flexionante tiene forma triangular
con el momento en el empotramiento igual a –PL. Dado que la rigidez a la flexión EI
es constante, el diagrama M/EI tiene la misma forma que el diagrama de momento
flexionante, como se muestra en la última parte de la figura 9.24.
Ángulo de rotación. Del primer teorema de área-momento sabemos que el ángulo
u B/A entre las tangentes en los puntos B y A es igual al área del diagrama M/EI
entre esos puntos. Esta área, que denotaremos A 1 , se determina como sigue:
1
A 1
2 (L) P L
EI
2
PL
2EI
Observe que sólo estamos empleando el valor absoluto del área.
El ángulo de rotación relativo entre los puntos A y B (del primer teorema) es
PL
u B/A u B u A A 1
2EI
Dado que la tangente a la curva de deflexión en el empotramiento A es horizontal
(u A = 0), obtenemos
2
u B
2
PL
2EI
(9.64)
Este resultado concuerda con la fórmula para u B dada en el caso 4 de la tabla G.1,
apéndice G.
Deflexión. La deflexión d B en el extremo libre se puede obtener del segundo teorema
de área-momento. En este caso la desviación tangencial t B/A del punto B desde la
tangente en A es igual a la propia deflexión d B (consulte la figura 9.24). El momento
estático del área del diagrama M/EI, evaluado con respecto al punto B, es
Q 1
A 1 x
2
PL
2EI
2L
3
3
PL
3EI
Observe de nuevo que estamos ignorando los signos y empleando sólo valores absolutos.
Del segundo teorema de área-momento sabemos que la deflexión d B es igual al
momento estático Q 1 . Por tanto,
d B
3
PL
3EI
(9.65)
Este resultado también aparece en el caso 4 de la tabla G.1.