Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

260 CapÍtulo 3 Torsión
Para obtener una segunda ecuación debemos considerar los desplazamientos
rotacionales tanto de la barra sólida como del tubo. Si denotamos
el ángulo de torsión de la barra sólida (figura 3.32d) con f 1 y el ángulo de
torsión del tubo con f 2 (figura 3.32e). Estos ángulos de torsión deben ser
iguales en virtud de que la barra y el tubo están unidos firmemente a la placa
extrema y giran con ella; en consecuencia, la ecuación de compatibilidad es
f 1 f 2 (b)
Los ángulos f 1 y f 2 están relacionados con los pares de torsión T 1 y T 2 por
las relaciones par de torsión-desplazamiento, que en el caso de materiales
linealmente elásticos se obtienen de la ecuación f = TL/GI P . Por tanto,
f 1
T1L
G I
1 P1
f 2
T2L
G I
2 P2
(c,d)
en donde G 1 y G 2 son los módulos de elasticidad en cortante de los materiales
e I P1 e I P2 son los momentos polares de inercia de las secciones
transversales.
Al sustituir las expresiones anteriores para f 1 y f 2 en la ecuación (b),
la ecuación de compatibilidad se convierte en
T1L
G I
1 P1
T2L
G I
2 P2
(e)
Ahora tenemos dos ecuaciones (ecuaciones a y e) con dos incógnitas, por
lo que podemos despejar de ellas los pares de torsión T 1 y T 2 . Los resultados
son
G
T 1 T
1I P 1
G1 I P G
1
G
T 2 T
2I P2 G1 I P 1
2I P 2
G
2I P2
(3.44a,b)
Conociendo estos pares de torsión, la parte esencial del análisis estáticamente
indeterminado está completa; ahora todas las otras ecuaciones, como
los esfuerzos y los ángulos de torsión, se pueden determinar a partir de los
pares de torsión.
Mediante el análisis anterior se ilustra la metodología general para analizar
un sistema en torsión estáticamente indeterminado. En el siguiente
ejemplo se utiliza el mismo enfoque para analizar una barra que está fija
contra la rotación en los dos extremos. En el ejemplo y en los problemas,
suponemos que las barras están hechas de materiales linealmente elásticos.
Sin embargo, la metodología general también se aplica a barras de materiales
no lineales, el único cambio es en las relaciones par de torsión-desplazamiento.