Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

264 CapÍtulo 3 Torsión
podemos determinar la energía de deformación de cada segmento y luego
sumarlas para obtener la energía total de la barra:
U
n
i 1
U i (3.52)
en donde U i es la energía de deformación del segmento i y n es el número de
segmentos. Por ejemplo, si utilizamos la ecuación (3.51a) para obtener las
energías de deformación individuales, la ecuación anterior se transforma en
U
n
i 1
T i 2 L i
2G i (I P ) i
(5.53)
en donde T i es el par de torsión interno en el segmento i y L i , G i e (I P ) i son
las propiedades torsionales del segmento.
Si la sección transversal de la barra o el par de torsión interno varía a
lo largo del eje, como se ilustra en las figuras 3.15 y 3.16 de la sección 3.4,
podemos obtener la energía de deformación total determinando primero la
energía de deformación de un elemento y luego integrando a lo largo del
eje. Para un elemento con longitud dx, la energía de deformación es (consulte
la ecuación 3.51a)
dU [ 2
T(x)
] dx
2GI
( x)
en donde T(x) es el par de torsión interno que actúa sobre el elemento e I P (x)
es el momento polar de inercia de la sección transversal en el elemento. Por
tanto, la energía de deformación total de la barra es
U
0
L
P
[ T(x)
] dx
2GI
( x)
P
2
(3-54)
De nuevo deben observarse las similitudes de las expresiones para la energía
de deformación en torsión y carga axial (compare las ecuaciones 3.53 y
3.54 con las ecuaciones 2.40 y 2.41 de la sección 2.7).
El empleo de las ecuaciones anteriores para torsión no uniforme se
ilustra en los ejemplos que siguen. En el ejemplo 3.10 la energía de deformación
se determina para una barra en torsión pura con segmentos prismáticos
y en los ejemplos 3.11 y 3.12 se determina la energía de deformación
para barras con pares de torsión variables y dimensiones de sus secciones
transversales variables.
Además, en el ejemplo 3.12 se muestra cómo en condiciones muy limitadas
el ángulo de torsión de una barra se puede determinar a partir de
su energía de deformación. (Para un análisis más detallado de este método,
incluyendo sus limitaciones, consulte la subsección “Desplazamientos causados
por una sola carga” en la sección 2.7).
Limitaciones
Al evaluar la energía de deformación debemos tener en cuenta que las ecuaciones
deducidas en esta sección sólo se aplican a barras de materiales linealmente
elásticos con ángulos de torsión pequeños. Además, debemos
recordar la observación importante enunciada previamente en la sección
2.7: la energía de deformación de una estructura que soporta más de una
carga no se puede obtener sumando las energías de deformación obtenidas