Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

114 CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente
Ecuación de compatibilidad. Para obtener una ecuación relacionada con los
desplazamientos, observamos que la carga P ocasiona que la barra AB gire con respecto
al apoyo articulado A, y debido a esto los alambres se estiran. Los desplazamientos
resultantes se muestran en el diagrama de desplazamientos de la figura
2.18c, donde la línea AB representa la posición original de la barra rígida y la línea
AB′ representa la posición girada. Los desplazamientos d 1 y d 2 son los alargamientos
de los alambres. Dado que estos desplazamientos son muy pequeños, la barra
gira un ángulo muy pequeño (en la figura se muestra muy exagerado) y podemos
hacer los cálculos con la suposición de que los puntos D, F y B se mueven verticalmente
hacia abajo (en lugar de moverse a lo largo de arcos de círculos).
Como las distancias horizontales AD y DF son iguales, obtenemos la relación
geométrica siguiente entre los estiramientos:
d 2 2d 1 (p)
La ecuación (p) es la ecuación de compatibilidad.
Relaciones fuerza-desplazamiento. En virtud de que los alambres se comportan
de una manera linealmente elástica, sus alargamientos se pueden expresar en términos
de las fuerzas desconocidas T 1 y T 2 mediante las siguientes expresiones:
T 1 L 1 T
d 1 d 2
2
E 1 A 1 E2L
A
en donde A 1 y A 2 son las áreas de las secciones transversales de los alambres CD y
EF, respectivamente; es decir,
2
2
A 1
p d 2 1
4
A 2
p d 2 2
4
Por conveniencia, al escribir las ecuaciones, introduzcamos la notación siguiente
para las flexibilidades de los alambres (consulte la ecuación 2.4b):
f 1
L
E
1
1 A1
f 2
L
E
2
2 A2
(q,r)
Entonces las relaciones fuerza-desplazamiento se transforman en
d 1 f 1 T 1 d 2 f 2 T 2 (s,t)
Solución de ecuaciones. Ahora resolvemos simultáneamente los tres conjuntos
de ecuaciones (equilibrio, compatibilidad y fuerza-desplazamiento). Sustituyendo
las expresiones de las ecuaciones (s) y (t) en la ecuación de compatibilidad (ecuación
p) se obtiene
f 2 T 2 2 f 1 T 1 (u)
La ecuación de equilibrio (ecuación o) y la ecuación anterior (ecuación u) contienen
cada una las fuerzas T 1 y T 2 como cantidades desconocidas. Resolviendo estas dos
ecuaciones simultáneamente se obtienen
T 1
3f 2 P
6f T 1 P
2
4f f 2 4f
1
1
f 2
(v,w)
Conociendo las fuerzas T 1 y T 2 es fácil determinar los alargamientos de los alambres
a partir de las relaciones fuerza-desplazamiento.