Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 3.9 Energía de deformación en torsión y cortante puro 269
Ejemplo 3.12
T
d A
A
f A
x
Figura 3.39 Ejemplo 3.12. Barra ahusada
en torsión.
L
d(x)
dx
B
d B
Una barra ahusada en voladizo AB con sección transversal circular sólida está soportada
en el extremo derecho y cargada por un par de torsión T en el otro extremo
(figura 3.39). El diámetro de la barra varía linealmente de d A en el extremo izquierdo
a d B en el extremo derecho.
Determine el ángulo de rotación f A en el extremo A de la barra igualando la
energía de deformación con el trabajo realizado por la carga.
Solución
Del principio de conservación de la energía sabemos que el trabajo realizado
por el par de torsión aplicado es igual a la energía de deformación de la barra; por
tanto, W = U. El trabajo está dado por la ecuación
W Tf A
2
(i)
y la energía de deformación U se puede determinar con la ecuación (3.54).
Para utilizar la ecuación (3.54), necesitamos expresiones para el par de torsión
T(x) y el momento polar de inercia I P (x). El par de torsión es constante a lo largo del
eje de la barra e igual a la carga T, y el momento polar de inercia es
I P (x)
p
32 d(x) 4
en donde d(x) es el diámetro de la barra a una distancia x desde el extremo A. De la
geometría de la figura observamos que
d
d(x) d B d A
A x
L
(j)
y, por tanto,
I P (x)
p
32 d A
d B d A
x 4
L
(k)
Ahora podemos sustituir en la ecuación (3.54), como sigue:
U
L
0
[ T(x)
] dx 16
2GI
( x)
pG
P
2
T 2
L
0
d A
dx
d B d A
x 4
L
La integral en esta expresión se puede integrar con ayuda de una tabla de integrales
(consulte el apéndice C). Sin embargo, ya evaluamos esta integral en el ejemplo 3.5
de la sección 3.4 (consulte la ecuación g de ese ejemplo) y determinamos que
L dx
L
0 d 3(d B
d B d A
A x 4
L
1
d A ) d
1
3 3
A dB
continúa