Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

sección 12.8 Rotación de ejes 921
12.8 ROTACIÓN DE EJES
Los momentos de inercia de un área plana dependen de la posición del
origen y de la orientación de los ejes de referencia. Para un origen dado, los
momentos de inercia y el producto de inercia varían conforme se giran los ejes
con respecto a ese origen. La forma en que varían y las magnitudes de los
valores máximo y mínimo se analizan en esta y en la siguiente sección.
Consideremos el área plana que se muestra en la figura 12.24 y supongamos
que los ejes xy son un par de ejes de referencia ubicados de manera
arbitraria. Los momentos y productos de inercia con respecto a dichos ejes
son
I x y 2 dA I y x 2 dA I xy xy dA (a,b,c)
en donde x y y son las coordenadas de un elemento diferencial de área dA.
Los ejes x 1 y y 1 tienen el mismo origen que los ejes xy pero están girados
un ángulo u en sentido contrario al de las manecillas del reloj con
respecto a esos ejes. Los momentos y el producto de inercia con respecto
a los ejes x 1 y 1 se denotan I x1 , I y1 e I x1 y 1
, respectivamente. Para obtener
estas cantidades necesitamos las coordenadas del elemento de área dA con
respecto a los ejes x 1 y 1 . Estas coordenadas se pueden expresar en términos
de las coordenadas xy y del ángulo u por geometría, como sigue:
x 1 x cos u y senu y 1 y cos u x senu (12.23a,b)
Entonces el momento de inercia con respecto al eje x 1 es
I x1 y 1 2 dA (y cos u x sen u) 2 dA
cos 2 u y 2 dA sen 2 u x 2 dA 2 sen u cos u xy dA
o, con las ecuaciones (a), (b) y (c),
I x1 I x cos 2 u I y sen 2 u 2I xy sen u cosu (12.24)
Ahora introducimos las siguientes identidades trigonométricas:
cos 2 u
1
2 (1 cos 2u) sen2 u
2 sen u cos u sen2u
1
(1 cos2u)
2
y 1
y
u
x
dA
Figura 12.24 Rotación de ejes.
O
x 1
y
y 1
u
x 1
x