Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 2.4 Estructuras estáticamente indeterminadas 107
2.4 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
B
Figura 2.14 Barra estáticamente
determinada.
A
P 1
P 2
R
Los resortes, las barras y los cables que se describieron en las secciones
anteriores tienen una característica importante en común: sus reacciones
y fuerzas internas se pueden determinar únicamente a partir de diagramas
de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. A las estructuras de este tipo se
les clasifica como estáticamente determinadas. Debemos destacar que las
fuerzas en una estructura estáticamente determinada se pueden determinar
sin conocer las propiedades de los materiales. Considere, por ejemplo, la
barra AB que se muestra en la figura 2.14. Los cálculos para las fuerzas
axiales internas en las dos partes de la barra, así como para la reacción R en
la base, son independientes del material de que está hecha la barra.
La mayor parte de las estructuras son más complejas que la barra de la
figura 2.14 y no se pueden determinar sus reacciones y fuerzas internas sólo
mediante la estática. Esta situación se ilustra en la figura 2.15, que muestra
una barra AB empotrada en los dos extremos. Ahora hay dos reacciones
verticales (R A y R B ) pero sólo una ecuación de equilibrio útil, la ecuación de
la suma de fuerzas en la dirección vertical. Dado que esta ecuación contiene
dos incógnitas, no es suficiente para determinar las reacciones. Las estructuras
de este tipo se clasifican como estáticamente indeterminadas y para
su análisis debemos completar las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones
adicionales que contengan los desplazamientos de la estructura.
Para ver cómo se analiza una estructura estáticamente indeterminada,
considere el ejemplo de la figura 2.16a. La barra prismática AB está fija
sobre apoyos rígidos en sus dos extremos y cargada axialmente mediante
una fuerza P en un punto intermedio C. Como ya se explicó, no se pueden
determinar las reacciones R A y R B sólo mediante la estática, debido a que
sólo disponemos de una ecuación de equilibrio:
F vert 0 R A P R B 0 (a)
B
Figura 2.15 Barra estáticamente
indeterminada.
A
R A
R B
P
Se necesita una ecuación adicional para resolver las dos reacciones desconocidas.
La ecuación adicional se basa en la observación de que una barra con
sus dos extremos fijos no cambia de longitud. Si separamos la barra de sus
apoyos (figura 2.16b) obtenemos una barra que está libre en sus extremos y
cargada por las tres fuerzas R A , R B y P. Éstas ocasionan que la barra cambie
de longitud en una cantidad d AB , que debe ser igual a cero:
d AB 0 (b)
Esta ecuación, denominada ecuación de compatibilidad, expresa el hecho
de que el cambio de longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones
de apoyo.
A fin de resolver las ecuaciones (a) y (b), ahora debemos expresar la
ecuación de compatibilidad en términos de las fuerzas desconocidas R A y
R B . Las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre una barra y sus cambios
de longitud se conocen como relaciones fuerza-desplazamiento. És-