Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

730 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
P
A
B
El trabajo W realizado por el par M 0 al cargar la viga es M 0 u A /2, donde u A es el ángulo
de rotación en el extremo A. Por tanto,
A
x
(a)
M 0
A B
L
B
2
M 0 A M 0 L
W U o
2
M 0
2u
A M2E
0
IL
W U o
2u
2EI
M0L
y u A
ME
0I
L
y y u A
EI
x
L
(b)
El ángulo de rotación tiene el mismo sentido que el momento (contrario al de las
manecillas del reloj en este ejemplo).
(c) Viga con las dos cargas en acción simultánea (figura 9.34c). Cuando las
dos cargas actúan sobre la viga, el momento flexionante en la viga es
M 0
P
M Px M 0
x
L
(c)
Por tanto, la energía de deformación es
U
0
L
2 d
M x
2EI
1
2EI
0
L
( Px M 0 ) 2 dx
Figura 9.34 Ejemplo 9.16. Energía de
deformación de una viga.
L 2
2 3
P L PM0
6EI
2EI
2
M 0L
2EI
(9.86)
El primer término en este resultado da la energía de deformación debida a la carga P
que actúa sola (ecuación 9.84) y el último término proporciona la energía de deformación
debida sólo a la acción de M 0 (ecuación 9.85). Sin embargo, cuando las dos
cargas actúan de manera simultánea, aparece un término adicional en la expresión
para la energía de deformación.
Por tanto, concluimos que la energía de deformación en una estructura debida
a dos o más cargas en acción simultánea no se puede obtener sumando las
energías de deformación debidas a las cargas actuando por separado. La razón
es que la energía de deformación es una función cuadrática de las cargas, no una
función lineal. Por lo que el principio de superposición no se aplica a la energía de
deformación.
También observamos que no podemos calcular una deflexión para una viga
con dos o más cargas igualando el trabajo realizado por las cargas con la energía
de deformación. Por ejemplo, si igualamos el trabajo y la energía para la viga de la
figura 9.34c, obtenemos
W U o
Pd
2A2 M 0
2
u A2
L 2
2 3
P L PM0
6EI
2EI
2
M 0L
2EI
(h)
en donde d A2 y u A2 representan la deflexión y el ángulo de rotación en el extremo A
de la viga con dos cargas en acción simultánea (figura 9.34c). Si bien el trabajo realizado
por las dos cargas es en efecto igual a la energía de deformación y la ecuación
(h) es correcta, no podemos despejar d A2 ni u A2 debido a que hay dos incógnitas y
sólo una ecuación.