Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 7.7 Deformación unitaria plana 591
TABLA 7.1 VARIABLES CORRESPONDIENTES
EN LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
PARA ESFUERZO PLANO
(ECUACIONES 7.4a Y b) Y DEFORMACIÓN
UNITARIA PLANA (ECUACIONES 7.71a Y b)
Esfuerzos
s x
s y
e x
e y
t xy g xy /2
s x1
Deformaciones
unitarias
e x1
t x1 y 1
g x1 y 1
/2
sen u cos u
1
sen 2u
2
Entonces, las ecuaciones de transformación para deformación unitaria plana
se convierten en
e x e y e x e y g
e x1 x y x y cos 2u
xy x1 cos 2u
xy sen 2u (7-71a)
2 2
2 sen 2u (7-71a) (7.71a)
y
g x l y x l y l
e x e y
l x y sen 2u
2 2 sen 2u
g
xy xy cos 2u
2 cos 2u
(7-71b) (7.71b)
(7-71b)
Estas ecuaciones son las contrapartes de las ecuaciones (7.4a) y (7.4b) para
esfuerzo plano.
Al comparar los dos conjuntos de ecuaciones, observe que x1 corresponde
a s x1 , g x1 y 1 /2 corresponde a t x1 y 1
, x corresponde a s x , y corresponde
a s y y g x1 y 1 /2 corresponde a t xy . Las variables correspondientes en los dos
conjuntos de ecuaciones de transformación se dan en la tabla 7.1.
La analogía entre las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano
y las de deformación unitaria plana muestra que todas las observaciones
hechas en las secciones 7.2, 7.3 y 7.4 relativas al esfuerzo plano, esfuerzos
principales, esfuerzos cortantes máximos y círculo de Mohr tienen sus
contrapartes en la deformación unitaria plana. Por ejemplo, la suma de las
deformaciones unitarias normales en direcciones perpendiculares es una
constante (compárela con la ecuación 7.6):
e x1 e y1 e x e y (7-72) (7.72)
Esta cantidad se puede verificar fácilmente al sustituir las expresiones para
x1 (de la ecuación 7.71a) y y1 (de la ecuación 7.71a con u reemplazada con
u + 90°).
Deformaciones unitarias principales
Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares
con los ángulos principales u p calculados con la siguiente ecuación
(compárela con la ecuación 7.11):
g xy
tan 2u p (7-73) (7.73)
e x e y
Las deformaciones unitarias principales se calculan con la ecuación
e 1,2
e x
2
e y e x
2
e 2 y g xy 2 (7-74)
2
(7.74)