Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

244 CapÍtulo 3 Torsión
Para evaluar la integral en esta ecuación, observamos que es de la forma
en donde
(a
dx
bx) 4
a d A b
d B
L
d A
(e,f)
Con ayuda de una tabla de integrales (consulte el apéndice C), obtenemos
(a
dx
bx) 4
1
3b(a
bx) 3
Esta integral se evalúa sustituyendo x con los límites 0 y L y con los valores de a y
b de las expresiones en las ecuaciones (e) y (f). Por tanto, la integral en la ecuación
(3.25) es igual a
3(d B
L
d A )
1
d
3
A d
1
3 (g)
B
Al reemplazar la integral en la ecuación (3.25) con esta expresión, obtenemos
f
32TL
3pG(d
B
d A )
1
d
3
A d
1
3
(3.26)
B
que es la ecuación deseada para el ángulo de torsión de la barra ahusada.
Una forma conveniente de escribir la ecuación anterior es
en donde
f
b
TL
b 2 b 1
3
(3.27)
G(IP) A 3b
d
d
B
A
4
pd
(I P ) A
A (3.28)
32
La cantidad b es la razón de los diámetros extremos e (I P ) A es el momento polar de
inercia en el extremo A.
En el caso especial de una barra prismática, tenemos b = 1 y la ecuación (3.27)
da f = TL/G(I P ) A , como se esperaba. Para valores de b mayores que 1, el ángulo
de rotación disminuye debido a que el diámetro mayor en el extremo B produce un
aumento en la rigidez torsional (en comparación con una barra prismática).