Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 3.4 Torsión no uniforme 239
dimensiones apropiadas y el par de torsión adecuado. Por ejemplo, el esfuerzo
máximo en el segmento BC (figura 3.14) se determina al utilizar el diámetro de
ese segmento y el par de torsión T BC que se calcula mediante la ecuación
(b). El esfuerzo máximo en toda la barra es el esfuerzo mayor de entre
los esfuerzos calculados para cada uno de los tres segmentos.
El ángulo de torsión para cada segmento de determina con la ecuación
(3.15), al emplear de nuevo las dimensiones adecuadas y el par de
torsión apropiado. Luego se obtiene el ángulo de torsión total de un extremo
de la barra con respecto al otro mediante la siguiente suma algebraica:
f f 1 f 2 . . . f n (3.19)
donde f 1 es el ángulo de torsión para el segmento 1, f 2 es el ángulo de
torsión para el segmento 2, etcétera, y n es el número total de segmentos.
Puesto que cada ángulo de torsión se determina con la ecuación (3.15), podemos
escribir la fórmula general
f
n
i 1
f i
i
n
T L
(3.20)
i(
i) i
i
1 G IP
T
A
x
L
dx
Figura 3.15 Barra en torsión
no uniforme (caso 2).
B
T
en donde el subíndice i es un índice de numeración para los diversos segmentos.
Para el segmento i de la barra, T i es el par de torsión interno (encontrado
del equilibrio como se ilustra en la figura 3.14), L i es la longitud,
G i es el módulo de cortante e (I P ) i es el momento polar de inercia. Algunos
de los pares de torsión (y los ángulos de torsión correspondientes) pueden
ser positivos y algunos negativos. Al sumar de manera algebraica los ángulos
de torsión de todos los segmentos se obtiene el ángulo de torsión f
total entre los extremos de la barra. El proceso se ilustra más adelante en el
ejemplo 3.4.
Caso 2. Barra con secciones transversales que varían continuamente
y par de torsión constante (figura 3.15). Cuando el par de torsión es constante,
el esfuerzo cortante máximo en una barra sólida siempre ocurre en
la sección transversal que tiene el diámetro menor, como se muestra en la
figura (3.12). Además, es usual que esta observación sea válida para barras
tubulares; si este es el caso, sólo necesitamos investigar la sección transversal
más pequeña a fin de calcular el esfuerzo cortante máximo. De lo contrario,
puede ser necesario evaluar los esfuerzos en más de una ubicación con
objeto de determinar el esfuerzo máximo.
Para encontrar el ángulo de torsión, consideramos un elemento con
longitud dx a una distancia x desde un extremo de la barra (figura 3.15). El
ángulo diferencial de rotación df para este elemento es
df
T x
GI P
d( x)
(d)
en donde I P (x) es el momento polar de inercia de la sección transversal a
una distancia x desde el extremo. El ángulo de torsión para toda la barra es
la suma de los ángulos diferenciales de rotación:
f
0
L
df
L
0 G
T x
I P
d( x)
(3.21)