Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

860 CapÍtulo 11 Columnas
s cr
s pl
= P — cr
A
s r
C
En la figura 11.32 se presenta un diagrama que muestra cómo varía el
esfuerzo crítico s t con la relación de esbeltez L/r, para una columna metálica
común con extremos articulados. Observe que la curva está arriba del límite
de proporcionalidad y debajo de la curva de Euler.
Las fórmulas del módulo tangente se pueden emplear para columnas
con varias condiciones de soporte utilizando la longitud efectiva L e en lugar
de la longitud real L.
s t
L —r
O
( — L
) r c
Curva de Eu
ler
Figura 11.32 Diagrama del esfuerzo
crítico contra la relación de esbeltez.
Teoría del módulo reducido
La teoría del módulo tangente se distingue por su simplicidad y facilidad
de uso. Sin embargo, su concepto tiene deficiencias debido a que no toma
en cuenta el comportamiento completo de la columna. Para explicar la dificultad,
consideraremos de nuevo la columna que se muestra en la figura
11.30a. Cuando esta columna se sale por primera vez de la posición recta
(figura 11.30b), los esfuerzos de flexión se suman a los esfuerzos de compresión
existentes P/A. Estos esfuerzos adicionales son de compresión sobre
el lado cóncavo de la columna y de tensión sobre el lado convexo. Por
tanto, los esfuerzos de compresión en la columna se vuelven mayores sobre
el lado cóncavo y menores sobre el otro lado.
Ahora imagine que el esfuerzo axial P/A está representado por el punto
A en el diagrama esfuerzo-deformación (figura 11.31). En el lado cóncavo
de la columna (donde el esfuerzo de compresión se incrementa), el material
sigue el módulo tangente E t . Sin embargo, en el lado convexo (donde
el esfuerzo de compresión disminuye), el material sigue la línea de descarga
AB en el diagrama esfuerzo-deformación. Esta línea es paralela a la parte
lineal inicial del diagrama y, por tanto, su pendiente es igual al módulo elástico
E. Por tanto, en el inicio de la flexión, la columna se comporta como si
estuviera hecha de dos materiales diferentes, un material con módulo E t en
el lado cóncavo y un material con módulo E en el lado convexo.
Un análisis de flexión de esa columna se puede efectuar empleando
las teorías de flexión para una viga de dos materiales (secciones 6.2 y 6.3).
Los resultados de esos estudios muestran que la columna se flexiona como
si el material tuviera un módulo de elasticidad entre los valores de E y E t .
Este “módulo efectivo” se conoce como módulo reducido E r y su valor
depende no sólo de la magnitud del esfuerzo (debido a que E t depende de la
magnitud del esfuerzo) sino también de la forma de la sección transversal
de la columna. Así, el módulo reducido E r es más difícil de determinar que
el módulo tangente E t . En el caso de una columna con sección transversal
rectangular, la ecuación para el módulo reducido es
E r
( E4EE t
E t ) 2 (11.69)
Para una viga de patín ancho sin tomar en cuenta el área del alma, el módulo
reducido para flexión con respecto al eje fuerte es
E r
2EEt
E E
t
(11.70)
El módulo reducido E r también se denomina módulo doble.