Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

sección 12.6 Momentos polares de inercia 917
Sustituimos en las ecuaciones (a) y observando también que d 2 2
d 1
(figura 12.13), obtenemos
d 2
2
(I P ) O (I P ) C Ad 2
(12.16)
Esta ecuación representa el teorema de los ejes paralelos para momentos
polares de inercia:
El momento polar de inercia de un área con respecto a cualquier punto O en su
plano es igual al momento polar de inercia con respecto al centroide C más el
producto del área y el cuadrado de la distancia entre los puntos O y C.
Para ilustrar la determinación de los momentos polares de inercia y el
uso del teorema de los ejes paralelos, considere un círculo con radio r (figura
12.18). Tomemos un elemento diferencial de área dA en forma de un anillo
delgado con radio r y espesor dr (por tanto, dA = 2πr dr). Como cada
punto en el elemento está a la misma distancia r desde el centro del círculo,
el momento polar de inercia de todo el círculo con respecto al centro es
(I P ) C r 2 dA
0
r
2pr 3 dr
pr 4 (12.17)
2
Este resultado aparece en el caso 9 del apéndice D.
El momento polar de inercia del círculo con respecto a cualquier punto B
en su circunferencia (figura 12.18) se puede obtener con el teorema de los
ejes paralelos:
(I P ) B (I P ) C Ad 2 p r 4 p r 2 (r 2 )
2
3p r 4 (12.18)
2
Por cierto, observe que el momento polar de inercia tiene su valor menor
cuando el punto de referencia es el centroide del área.
Un círculo es un caso especial en que el momento polar de inercia se
puede determinar por integración. Sin embargo, la mayor parte de las formas
encontradas en el trabajo de ingeniería no se prestan para esta técnica,
por lo que es usual que los momentos polares de inercia se obtengan sumando
los momentos rectangulares de inercia para dos ejes perpendiculares
(ecuación 12.15).
y
Figura 12.18 Momento polar de inercia
de un círculo.
r
r
C
dA
dr
B
x