Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

738 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
ejemplo de la figura 9.38. En dicho ejemplo queríamos determinar la deflexión
d C en el punto medio C de la viga debida a las cargas P y M 0 . Para
hacerlo sumamos la carga ficticia Q en el punto medio (figura 9.39). Después
continuamos con la determinación de la deflexión (d C ) 0 en el punto
medio de la viga cuando actuaban las tres cargas (P, M 0 y Q). Por último,
igualamos Q a cero para obtener la deflexión d C debida sólo a P y M 0 .
La solución requirió tiempo porque las integraciones fueron muy largas.
Sin embargo, si utilizamos el teorema modificado y derivamos primero, los
cálcu los son mucho más cortos.
Ante el efecto de las tres cargas (figura 9.39), los momentos flexionantes
y sus derivadas son como sigue (consulte las ecuaciones n y o):
] M
M Px M 0
] Q
M Px M 0 Qx
L
2
] M
] Q
0 0 x
x
L
2
L
2
L
2
x
L
Por tanto, la deflexión (d C ) 0 , de la ecuación (9.88), es
1
(d C ) 0
EI
0
L /2
( Px M 0 )(0)dx
1
EI
L
L /2
Px M 0 Q x
L
2
x
L
2
dx
Puesto que Q es una carga ficticia y dado que ya realizamos las derivadas
parciales, podemos igualar Q a cero antes de integrar y obtener la deflexión
d C debida a las dos cargas P y M 0 de la siguiente manera:
d C
1
EI
L
L /2
[ Px M 0 ] x
L
2
dx
5PL
48EI
L
8EI
3
M0
2
que concuerda con el resultado anterior (ecuación t). De nuevo, las integraciones
se simplifican en gran medida derivando bajo el signo de integración
y empleando el teorema modificado.
La derivada parcial que aparece bajo el signo de integración en la ecuación
(9.88) tiene una interpretación física simple. Representa la razón de
cambio del momento flexionante M con respecto a la carga P i , es decir,
es igual al momento flexionante M producido por una carga P i de valor
unitario. Esta observación conduce a un método para encontrar deflexiones
conocido como método de la carga unitaria. El teorema de Castigliano también
conduce a un método de análisis estructural conocido como método de
las flexibilidades. Los dos son de uso común en el análisis estructural y se
describen en libros de texto sobre ese tema.
Los ejemplos siguientes proporcionan ilustraciones adicionales del uso
del teorema de Castigliano para determinar deflexiones de vigas. Sin embargo,
se debe tener en cuenta que el teorema no está limitado a lo anterior,
sino que también se aplica a cualquier tipo de estructura linealmente elástica
para la cual sea válido el principio de superposición.