Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

106 CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente
Cambio de longitud. Ahora sustituimos la expresión para A(x) en la ecuación
(2.7) y obtenemos el alargamiento d:
d
N(
x)
dx
EA(
x)
L B
L A
Pdx(
E(pd
42
A
L
)
x2
A 2 )
4PL
pEd
2
A
2
A
L B
L A
dx
2
x
(d)
Al realizar la integración (consulte la fórmulas de integración en el apéndice C) y
sustituir los límites, obtenemos
d
4PL
pEd
2
A
2
A
1
x
L B
L A
4PL
pE
1
A
2
d2
A LA
1
LB
(e)
Esta expresión para d puede simplificarse observando que
1
LA
1
LB
L B
L A L B
L A
L A
L
L B
(f)
Por tanto, la ecuación para d se transforma en
d
4P
pEd
LA
L2
A
L
B
(g)
Por último, sustituimos L A /L B = d A /d B (consulte la ecuación a) y obtenemos
d
4PL
(2.8)
pEd A d B
Esta fórmula proporciona el alargamiento de la barra ahusada con sección transversal
circular. Al sustituir valores numéricos podemos determinar el cambio de
longitud para cualquiera barra particular.
Nota 1: un error común es suponer que el alargamiento de una barra cónica se
puede determinar calculando el alargamiento de una barra prismática que tenga la
misma área de sección transversal que la sección media de la barra cónica. Examinando
la ecuación (2.8) se demuestra que esta idea no es válida.
Nota 2: la fórmula anterior para una barra cónica (ecuación 2.8) se puede reducir
para el caso especial de una barra prismática sustituyendo d A = d B = d. El
resultado es
d
4PL
pEd
2
PL
EA
que sabemos que es correcta.
Una fórmula general como la ecuación (2.8) se debe verificar si es posible para
comprobar que se reduce a resultados conocidos para casos especiales. Si la reducción
no produce un resultado correcto, la fórmula original está errada. Si se obtiene
un resultado correcto, la fórmula original aún puede ser incorrecta pero aumenta
nuestra confianza en ella. En otras palabras, este tipo de verificación es una condición
necesaria pero insuficiente para que la fórmula original sea correcta.