Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

824 CapÍtulo 11 Columnas
Como la carga axial P se aumenta gradualmente, alcanzamos una condición
de equilibrio neutro en la que la columna puede tener una forma
flexionada. El valor correspondiente de la carga es la carga crítica P cr . En
esta carga la columna puede experimentar deflexiones laterales pequeñas
sin cambio en la fuerza axial. Por ejemplo, una carga lateral pequeña producirá
una forma flexionada que no desaparece cuando se elimina la carga
lateral. Por tanto, la carga crítica puede mantener la columna en equilibrio
ya sea en la posición recta o bien en una posición ligeramente flexionada.
A valores mayores de la carga, la columna es inestable y se puede
colapsar por pandeo, es decir, por flexión excesiva. Para el caso ideal que
estamos estudiando, la columna estará en equilibrio en la posición recta aun
cuando la fuerza axial P sea mayor que la carga crítica. Sin embargo, como
el equilibrio es inestable, la perturbación mínima imaginable ocasionará
que la columna se flexione en sentido lateral. Una vez que esto sucede, las
deflexiones aumentarán de inmediato y la columna fallará por pandeo. El
comportamiento es similar al descrito en la sección anterior para el modelo
idealizado de pandeo (figura 11.2).
El comportamiento de una columna ideal comprimida por una carga
axial P (figuras 11.5a y b) se puede resumir como sigue:
Si P < P cr , la columna está en equilibrio estable en la posición recta.
Si P = P cr , la columna está en equilibrio neutro en posición recta o en
una posición ligeramente flexionada.
Si P > P ct , la columna está en equilibrio inestable en la posición recta
y se pandeará ante la más pequeña perturbación.
Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada
debido a que siempre tiene imperfecciones. Por ejemplo, la columna no
es perfectamente recta y la carga no está exactamente en el centroide. No
obstante, iniciamos estudiando columnas ideales porque nos permite comprender
el comportamiento de columnas reales.
Ecuación diferencial para el pandeo de columnas
Para determinar las cargas críticas y las formas flexionadas correspondientes
para una columna ideal articulada (figura 11.5a), utilizamos una de
las ecua ciones diferenciales de la curva de deflexión de una viga (consulte las
ecuaciones 9.12a, b y c en la sección 9.2). Estas ecuaciones son aplicables
a una columna pandeada debido a que la columna se flexiona como si fuera
una viga (figura 11.5b).
Si bien la ecuación diferencial de cuarto orden (la ecuación de la carga)
y la ecuación diferencial de tercer orden (la ecuación de la fuerza cortante)
son adecuadas para analizar columnas, elegiremos emplear la ecuación de
segundo orden (la ecuación del momento flexionante) puesto que su solución
general suele ser la más simple. La ecuación del momento flexionante
(ecuación 9.12a) es
EIv
M
(11.3)