Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 11.3 Columnas con extremos articulados 827
P
B
Equilibrio inestable
Equilibrio neutro
la columna; a saber, la deflexión es cero cuando x = 0 y x = L (consulte la
figura 11.5b):
La primera condición da C 2 = 0 y, por tanto,
v(0) 0 y v(L) 0 (a,b)
P cr
Equilibrio estable
La segunda ecuación da
v C 1 sen kx (c)
O
Figura 11.7 Diagrama carga-deflexión
para una columna ideal linealmente
elástica.
v
C 1 sen kL 0
(d)
A partir de esta ecuación concluimos que C 1 = 0 o bien sen kL = 0. Consideraremos
las dos posibilidades.
Caso 1. Si la constante C 1 es igual a cero, la deflexión v también es cero
(consulte la ecuación c) y, por tanto, la columna permanece recta. Además,
observamos que cuando C 1 es igual a cero, la ecuación (d) se satisface para
cualquier valor de la cantidad kL. En consecuencia, la carga axial P también
puede tener cualquier valor (consulte la ecuación 11.6b). Esta solución de la
ecuación diferencial (conocida en matemáticas como solución trivial) está
representada por el eje vertical del diagrama carga-deflexión (figura 11.7) y
proporciona el comportamiento de una columna ideal que está en equilibrio
(ya sea estable o inestable) en la posición recta (sin deflexión) ante la acción
de la carga de compresión P.
Caso 2. La segunda posibilidad para satisfacer la ecuación (d) está dada
por la ecuación siguiente, conocida como ecuación de pandeo:
sen kL 0 (11.9)
Esta ecuación se satisface cuando kL = 0, π, 2π,... Sin embargo, como kL
= 0, significa que P = 0, esta solución no es de interés y entonces las soluciones
que consideraremos son
o (consulte la ecuación 11.6a):
kL np n 1, 2, 3, . . . (e)
P
n 2 p
L 22 EI
n 1, 2, 3, . . . (11.10)
Esta fórmula da los valores de P que satisfacen la ecuación de pandeo y
proporciona soluciones (además de la solución trivial) de la ecuación diferencial.
La ecuación de la curva de deflexión (de las ecuaciones c y e) es
v C 1 sen kx C 1 sen np x
L
n 1, 2, 3, . . . (11.11)
Sólo cuando P tiene uno de los valores dados por la ecuación (11.10) es
teóricamente posible que la columna tenga una forma flexionada (dada por
la ecuación 11.11). Para todos los otros valores de P, la columna está en
equilibrio sólo si permanece recta. Por tanto, los valores de P dados por la
ecuación (11.10) son las cargas críticas para esta columna.