Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

A
B
P 1
Barras no uniformes
secCiÓn 2.7 Energía de deformación 143
La energía de deformación total U de una barra formada de varios segmentos
es igual a la suma de las energías de deformación de los segmentos individuales.
Por ejemplo, la energía de deformación de la barra representada
en la figura 2.45 es igual a la energía de deformación del segmento AB más
la energía de deformación del segmento BC. Este concepto se expresa en
términos generales mediante la siguiente ecuación:
C
P 2
Figura 2.45 Barra formada de segmentos
prismáticos que tienen diferentes áreas
de sus secciones transversales y distintas
fuerzas axiales.
U
n
i 1
U i (2.39)
en donde U i es la energía de deformación del segmento i de la barra y n es
el número de segmentos. (Esta relación es válida ya sea que el material se
comporte de una manera lineal o no lineal).
Ahora suponga que el material de la barra es linealmente elástico y
que la fuerza axial interna es constante dentro de cada segmento. Entonces
podemos emplear la ecuación (2.37a) para obtener las energías de deformación
de los segmentos y la ecuación (2.39) se transforma en
A
x
U
n
Ni 2 i
i 1 2EiL
Ai
(2.40)
B
P
dx
L
donde N i es la fuerza axial que actúa en el segmento i y L i , E i y A i son propiedades
del segmento i. (El uso de esta ecuación se ilustra en los ejemplos
2.12 y 2.15 al final de esta sección).
Podemos obtener la energía de deformación de una barra prismática
con una fuerza axial que varía continuamente (figura 2.46) aplicando la
ecuación (2.37a) a un elemento diferencial (que se muestra sombreado en
la figura) y luego integrando a lo largo de la longitud de la barra:
Figura 2.46 Barra no prismática con
fuerza axial variable.
U
0
L
2
[N(x)]
dx
2EA(
x)
(2.41)
En esta ecuación, N(x) y A(x) son la fuerza axial y el área de la sección
transversal a una distancia x desde el extremo de la barra. (El ejemplo 2.13
ilustra el uso de esta ecuación).
Comentarios
Las expresiones anteriores para la energía de deformación (ecuaciones 2.37
a 2.41) muestran que la energía de deformación no es una función lineal de
las cargas, ni siquiera cuando el material es linealmente elástico. Por tanto,
es importante tomar en cuenta que no podemos obtener la energía de deformación
de una estructura que soporta más de una carga combinando las
energías de deformación obtenidas a partir de las cargas individuales que
actúan por separado.
En el caso de la barra no prismática que se muestra en la figura 2.45,
la energía de deformación total no es la suma de la energía de deformación
debida a la carga P 1 que actúa sola y la energía de deformación debida a la
carga P 2 actuando sola. Entonces, debemos evaluar la energía de deformación
con todas las cargas que actúan simultáneamente, como se demuestra
más adelante en el ejemplo 2.13.