Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 7.5 Ley de Hooke para esfuerzo plano 579
p
2 – g xy
z
O
y
p
2 – g xy
x
1
2 (s xbc)(ae x )
siempre que la ley de Hooke sea válida para este material, de manera similar,
la fuerza s y ac que actúa sobre la cara y realiza un trabajo igual a
1
2 (s y ac)(be y )
La suma de estos dos términos da la energía de deformación almacenada
en el elemento:
abc (sx e x s y e y )
2
Figura 7.26 (Repetida.)
Por tanto, la densidad de energía de deformación (energía de deformación
por volumen unitario) debida a los esfuerzos normales y a las deformaciones
unitarias normales es
1
u 1
2 (s xe x s y e y ) (c) (c)
La densidad de energía de deformación asociada con las deformaciones
unitarias por cortantes (figura 7.26) se evaluó antes en la sección 3.9 (consulte
la ecuación d de esa sección):
u 2
t xy
2
g xy
(d) (d)
Al combinar las densidades de energía de deformación para las deformaciones
unitarias normal y por cortante, obtenemos la fórmula siguiente
para la densidad de energía de deformación en esfuerzo plano:
1
u
2 (s xe x s y e y t xy g xy ) (7-49) (7.49)
Al sustituir las deformaciones unitarias de las ecuaciones (7.34) y (7.35),
obtenemos la densidad de energía de deformación en términos sólo de los
esfuerzos:
u
t 2 xy
1
2E (s 2 x s y 2 2ns x s y ) (7-50) (7.50)
2G
De manera similar, podemos sustituir los esfuerzos de las ecuaciones (7.36)
y (7.37) y obtener la densidad de energía de deformación en términos sólo
de las deformaciones unitarias:
u
E
2(1 n 2 ) (e 2 x e 2 y 2ne x e y )
Gg
2
2
xy
(7-51) (7.51)
Para obtener la densidad de energía de deformación en el caso especial
de esfuerzo biaxial, simplemente omitimos los términos de cortante en las
ecuaciones (7.49), (7.50) y (7.51).
Para el caso especial de esfuerzo uniaxial, sustituimos los siguientes
valores:
s y 0 t xy 0 e y ne x g xy 0
en las ecuaciones (7.50) y (7.51) y obtenemos, respectivamente,
u
2
s x Ee 2 x
u (e,f) (e,f)
2E 2