Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

564 CapÍtulo 7 Análisis de esfuerzo y deformación unitaria
D′ en el círculo proporciona los esfuerzos s x1 y t x1 y 1
sobre la cara y 1 del
elemento de esfuerzo (la cara identificada “D” en la figura 7.16b).
De este análisis vemos cómo están relacionados los esfuerzos representados
por puntos en el círculo de Mohr con los esfuerzos que actúan sobre un
elemento. Los esfuerzos sobre un plano inclinado definido por el ángulo u
(figura 7.16b) se determinan en el círculo en el punto donde el ángulo desde
el punto de referencia (punto A) es 2u. Entonces, conforme giramos los ejes
x 1 y 1 en sentido contrario al de las manecillas del reloj un ángulo u (figura
7.16b), el punto en el círculo de Mohr correspondiente a la cara x 1 se mueve
en sentido contrario al de las manecillas del reloj un ángulo 2u. De manera
similar, si giramos los ejes en el sentido de las manecillas del reloj un ángulo,
el punto en el círculo también se mueve en sentido de las manecillas del
reloj un ángulo dos veces mayor.
Esfuerzos principales
La determinación de los esfuerzos principales es probablemente la aplicación
más importante del círculo de Mohr. Observe que conforme nos movemos
alrededor del círculo de Mohr (figura 7.16c), encontramos el punto P 1
donde el esfuerzo normal alcanza su valor algebraicamente mayor y el esfuerzo
cortante es cero. De aquí, el punto P 1 representa un esfuerzo principal
y un plano principal. La abscisa s 1 del punto P 1 da el esfuerzo principal
algebraicamente mayor y su ángulo 2u p1 desde el punto de referencia A
(donde u = 0) da la orientación del plano principal. El otro plano principal,
asociado con el esfuerzo normal algebraicamente menor, está representado
por el punto P 2 , diametralmente opuesto al punto P 1 .
De la geometría del círculo observamos que el esfuerzo principal algebraicamente
mayor es
s 1 OC CP 1
s x
2
s y
R
que, al sustituir la expresión para R (ecuación 7.31b), concuerda con la
ecuación anterior para este esfuerzo (ecuación 7.14). De manera similar,
podemos verificar la expresión para el esfuerzo principal algebraicamente
menor s 2 .
El ángulo principal u p1 entre el eje x (figura 7.16a) y el plano del esfuerzo
principal algebraicamente más grande es la mitad del ángulo 2u p1 , que
es el ángulo en el círculo de Mohr entre los radios CA y CP 1 . El coseno y el
seno del ángulo 2u p1 se pueden obtener por inspección del círculo:
cos 2u p1
s x
2R
s y txy
sen 2u p1
R
Estas ecuaciones concuerdan con las ecuaciones (7.18a) y (7.18b) y, por
tanto, una vez más vemos que la geometría del círculo concuerda con las
ecuaciones deducidas antes. En el círculo, el ángulo 2u p2 hasta el otro punto