Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

362 CapÍtulo 5 Esfuerzos en vigas (temas básicos)
y
s x
M
sobre el elemento está dado por la ecuación (5.7). La fuerza que actúa sobre
el elemento es igual a s x
dA y es de compresión cuando y es positiva. Como
no hay una fuerza resultante que actúe sobre la sección transversal, la integral
de s x
dA sobre el área A de toda la sección transversal debe desaparecer;
por tanto, la primera ecuación de la estática es
O
x
s x dA
A
EkydA 0 (a)
A
(a)
y
dA
Como la curvatura k y el módulo de elasticidad E son constantes diferentes
de cero en cualquier sección transversal de una viga flexionada, no intervienen
en la integración sobre el área de la sección transversal. Por tanto,
podemos omitirlos en la ecuación y obtenemos
c 1
z
O
c 2
(b)
Figura 5.9 (Repetida.)
y
A
y dA 0 (5.8)
Esta ecuación establece que el primer momento del área de la sección transversal,
evaluado con respecto al eje z, es cero. En otras palabras, el eje z
debe pasar por el centroide de la sección transversal. *
Como el eje z también es el eje neutro, hemos llegado a la siguiente
conclusión importante: el eje neutro pasa por el centroide del área de la
sección transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay
una fuerza axial que actúe sobre la sección transversal. Esta observación
hace relativamente simple determinar la posición del eje neutro.
Como se explicó en la sección 5.1, nuestro análisis está limitado a vigas
para las cuales el eje y es de simetría. En consecuencia, el eje y también pasa
por el centroide. Por lo tanto, llegamos a la siguiente conclusión adicional:
el origen O de las coordenadas (figura 5.9b) está ubicado en el centroide
del área de la sección transversal.
Como el eje y es un eje de simetría de la sección transversal, se deduce
que es un eje principal (consulte el capítulo 12, sección 12.9, para ver un
análisis de los ejes principales). Ya que el eje z es perpendicular al eje y,
también es un eje principal. Por tanto, cuando una viga de material linealmente
elástico se somete a flexión pura, los ejes y y z son ejes centroidales
principales.
Relación momento-curvatura
La segunda ecuación de la estática expresa el hecho de que el momento
resultante de los esfuerzos normales s x
que actúan sobre la sección transversal
es igual al momento flexionante M (figura 5.9a). El elemento de fuerza
s x
dA que actúa sobre el elemento de área dA (figura 5.9b) lo hace en la
dirección positiva del eje x cuando s x
es positivo y en la dirección negativa
cuando s x
es negativo. Como el elemento dA está ubicado arriba del eje
neutro, un esfuerzo positivo s x
que actúa sobre ese elemento produce un
* Los centroides y los momentos estáticos de áreas se analizan en el capítulo 12, secciones
12.2 y 12.3.