Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 4.3 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes 315
P
m
A
n
x
(a)
P
A
x V
(b)
M
V
(c)
Figura 4.8 (Repetida.)
M
B
B
forma el material. Por ejemplo, antes empleamos una convención de signos
por deformación al tratar con fuerzas axiales en una barra, donde establecimos
que una fuerza axial que produce alargamiento (o tensión) en una barra
es positiva y una fuerza axial que produce acortamiento (o compresión) es
negativa. Entonces, el signo de una fuerza axial depende de cómo deforma
el material, no de su dirección en el espacio.
En contraste, al escribir ecuaciones de equilibrio usamos convenciones
de signos de la estática, en donde las fuerzas son positivas o negativas de
acuerdo con sus direcciones a lo largo de los ejes coordenados. Por ejemplo,
si estamos sumando fuerzas en la dirección y, las fuerzas que actúan en la
dirección positiva del eje y se toman positivas y las fuerzas que actúan en
sentido negativo se toman negativas.
Por ejemplo, considere la figura 4.8b, que es un diagrama de cuerpo libre
de la parte de la viga en voladizo. Suponga que estamos sumando fuerzas en
la dirección vertical y que el eje y es positivo hacia arriba. Entonces a la carga
P se le da un signo positivo en la ecuación de equilibrio debido a que actúa
hacia arriba. Sin embargo, la fuerza cortante V (que es una fuerza cortante
positiva) se le da un signo negativo debido a que actúa hacia abajo (es decir,
en la dirección negativa del eje y). Este ejemplo, muestra la distinción entre la
convención de signos por deformación empleada para la fuerza cortante y
la convención de signos de la estática utilizada en la ecuación de equilibrio.
Los ejemplos siguientes ilustran las técnicas para manejar las convenciones
de signos y determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes
en vigas. El procedimiento general consiste en la elaboración de
diagramas de cuerpo libre y resolución de ecuaciones de equilibrio.
Ejemplo 4.1
A
R A
L
P
(a)
M 0
L
— 4
L —2
— 4
V
B
R B
Una viga simple AB soporta dos cargas, una fuerza P y un par M 0
, que actúan como
se muestran en la figura 4.11a.
Encuentre la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la viga en secciones
transversales ubicadas como se indica: (a) a una distancia pequeña a la izquierda
del punto medio de la viga y (b) a una distancia pequeña a la derecha del
punto medio de la viga.
Solución
Reacciones. El primer paso en el análisis de esta viga es determinar las reacciones
R A
y R B
en los apoyos. Tomando momentos con respecto a los extremos B y A da
dos ecuaciones de equilibrio, de las cuales encontramos, respectivamente,
P
M
3P
R A
4
M0
L
R B
P
4
M0
L
(a)
R A
(b)
Figura 4.11 Ejemplo 4.1. Fuerzas
cortantes y momento flexionante en una
viga simple.
(a) Fuerza cortante y momento flexionante a la izquierda del punto medio.
Cortamos la viga en una sección transversal justo a la izquierda del punto medio y
dibujamos un diagrama de cuerpo libre de cualquier mitad de la viga. En este ejemplo
elegimos la mitad izquierda de la viga como el diagrama de cuerpo libre (figura
4.11b). Este cuerpo libre se mantiene en equilibrio por la carga P, la reacción R A
y
las dos resultantes desconocidas de esfuerzos —la fuerza cortante V y el momento
flexionante M—, que se muestran en sus direcciones positivas (consulte la figura
4.9). El par M 0
no actúa sobre el cuerpo libre debido a que la viga está cortada a la
izquierda de su punto de aplicación.
continúa