Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

732 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
A continuación supongamos que una de las cargas, digamos la carga
i-ésima, se incrementa ligeramente en una cantidad dP i en tanto que las
otras cargas se mantienen constantes. Este incremento en la carga causará
un incremento pequeño dU en la energía de deformación de la viga, que se
puede expresar como la razón de cambio de U con respecto a P i multiplicado
por el incremento pequeño P i . Por tanto, el incremento en la energía de
deformación es
dU
] U
dP i
] P
donde ∂U/∂P es la razón de cambio de U con respecto a P i . (Como U es
una función de todas las cargas, la derivada con respecto a cualquiera de
las cargas es una derivada parcial.) La energía de deformación final de la
viga es
U dU U
i
] U
dP i
] P
en donde U es la energía de deformación a la que se refiere la ecuación (c).
Dado que el principio de superposición es válido para esta viga, la energía
de deformación total es independiente del orden en el cual se aplican
las cargas. Es decir, los desplazamientos finales de la viga (y el trabajo
realizado por las cargas al alcanzar estos desplazamientos) son los mismos
sin importar el orden en que se aplique las cargas. Al obtener la energía de
deformación dada por la ecuación (e) primero aplicamos las n cargas P 1 ,
P 2 ,..., P n y luego aplicamos la carga dP i . Sin embargo, podemos invertir el
orden y aplicar la carga dP i primero, seguida de las cargas P 1 , P 2 ,..., P n . La
cantidad final de energía de deformación es la misma en cualquier caso.
Cuando la carga dP i se aplica primero, produce una energía de deformación
igual a la mitad del producto de la carga dP i y su desplazamiento
correspondiente dd i . Por tanto, la cantidad de energía de deformación debida
a la carga dP i es
i
(d)
(e)
dP i dd i
2
(f)
Cuando se aplican las cargas P 1 , P 2 ,..., P n , producen los mismos desplazamientos
que antes (d 1 , d 2 ,..., d n ) y realizan la misma cantidad de trabajo
que antes (ecuación c). No obstante, durante la aplicación de estas cargas
la fuerza dP i automáticamente se mueve a través del desplazamiento d i . Al
hacer eso produce un trabajo adicional igual al producto de la fuerza y la
distancia a través de la cual se desplaza. (Observe que el trabajo no tiene
un factor 1/2 porque la fuerza dP i actúa con su valor total a través de este
desplazamiento.) Por tanto, el trabajo adicional, igual a la energía de deformación
adicional, es
dP i d i
(g)
Entonces, la energía de deformación final para la segunda secuencia de carga
es
dP i dd i
U dP i d i (h)
2