Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 9.3 Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante 689
Deflexión máxima. De la simetría sabemos que la deflexión máxima se presenta
en el punto medio del claro (figura 9.8b). Por tanto, al igualar x a L/2 en la ecuación
(9.17), obtenemos
v L 5qL
2 384EI
4
en donde el signo negativo significa que la deflexión es hacia abajo (como se esperaba).
Dado que d máx representa la magnitud de esta deflexión, obtenemos
d máx
⏐ v L 2 ⏐ 3
4
5qL
84EI
(9.18)
Ángulos de rotación. Los ángulos máximos de rotación se tienen en los apoyos
de la viga. En el extremo izquierdo de la viga, el ángulo u A , en el sentido de las manecillas
del reloj (figura 9.8b), es igual al negativo de la pendiente v′. Por tanto, al
sustituir x = 0 en la ecuación (9.16) encontramos
u A v (0)
3
qL
24EI
(9.19)
De manera similar, podemos obtener el ángulo de rotación u B en el extremo derecho
de la viga. Como u B es un ángulo en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
es igual a la pendiente en el extremo:
u B
v (L)
3
qL
24EI
(9.20)
Puesto que la viga y la carga son simétricas con respecto al punto medio, los ángulos
de rotación en los extremos son iguales.
Este ejemplo ilustra el proceso para plantear y resolver la ecuación diferencial
de la curva de deflexión, también demuestra el proceso para determinar pendientes
y deflexiones en puntos seleccionados a lo largo del eje de la viga.
Nota: ahora que hemos deducidos fórmulas para la deflexión máxima y los
ángulos máximos de rotación (consulte las ecuaciones 9.18, 9.19 y 9.20), podemos
evaluar estas cantidades numéricamente y observar que las deflexiones y los ángulos
son en efecto pequeños como lo requiere la teoría.
Considere una viga de acero sobre apoyos simples con una longitud del claro
L = 6 ft. La sección transversal es rectangular con ancho b = 3 in y altura h = 6 in. La
intensidad de la carga uniforme es q = 8000 lb/ft, que es relativamente grande debido
a que produce un esfuerzo en la viga de 24,000 psi. (Por lo que las deflexiones y
pendientes son mayores que lo que normalmente se esperaría.)
Al sustituir en la ecuación (9.18) y al utilizar E = 30 × 10 6 psi, encontramos
que la deflexión máxima es d máx = 0.144 in, que sólo es 1/500 de la longitud del claro.
Además, de la ecuación (9.19), determinamos que el ángulo máximo de rotación
es u A = 0.0064 radianes, o 0.37°, que es un ángulo muy pequeño.
Por tanto, se justifica nuestra suposición de que las pendientes y deflexiones
son pequeñas.