Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

sección 6.3 Método de la sección transformada 469
Es fácil verificar la ecuación (6.15) al observar que el momento de
inercia de la sección transformada (figura 6.9b) está relacionado con el momento
de inercia de la sección original (figura 6.9a) mediante la siguiente
relación:
E
I T I 1 nI 2 I 1
E
Al sustituir esta expresión por I T en la ecuación (6.15) da
2
1
I 2 (6.16)
s x1
MyE1
E 1 I1
E2I 2
(a)
que es la misma que la ecuación (6.6a), demostrando así que los esfuerzos
en el material 1 en la viga original son iguales que los esfuerzos en la parte
correspondiente de la viga transformada.
Como se mencionó con anterioridad, los esfuerzos en el material 2 en
la viga original no son iguales que los esfuerzos en la parte correspondiente
de la viga transformada. En cambio, los esfuerzos en la viga transformada
(ecuación 6.15) se deben multiplicar por la razón modular n para obtener
los esfuerzos en el material 2 de la viga original:
s x2
M
I T
y n (6.17)
Podemos verificar esta fórmula observando que cuando la ecuación (6.16)
para I T se sustituye en la ecuación (6.17), obtenemos
s x2
1
E
MynE
E 1 I 1
2I 2
MyE2
E 1 I1
E2I 2
(b)
que es igual a la ecuación (6.6b).
Comentarios generales
En este análisis del método de la sección transformada elegimos transformar
la viga original en una viga formada por completo de material 1. También
es posible transformar la viga en el material 2. En ese caso los esfuerzos en
la viga original en el material 2 serán iguales que los esfuerzos en la parte
correspondiente de la viga transformada. Sin embargo, los esfuerzos en el
material 1 en la viga original se deben obtener multiplicando los esfuerzos
en la parte correspondiente de la viga transformada por la razón modular n,
que en este caso se define como n = E 1 /E 2 .
También es posible transformar la viga original en un material que tenga
cualquier módulo de elasticidad arbitrario E, en cuyo caso todas las partes
de la viga se deben transformar en el material ficticio. Por supuesto, los
cálculos son más simples si transformamos en uno de los materiales originales.
Por último, con un poco de ingenuidad es posible ampliar el método
de la sección transformada a vigas compuestas por más de dos materiales.