Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

sección 12.4 Momentos de inercia de áreas planas 909
12.4 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS
y
Los momentos de inercia de un área plana (figura 12.9) con respecto a los
ejes x y y, respectivamente, están definidos por las integrales
x
C
dA
I x
y 2 dA
I y
x 2 dA
(12.9a,b)
O
Figura 12.9 Área plana con forma
arbitraria.
y
x
en donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA.
Dado que el elemento dA se multiplica por el cuadrado de la distancia desde
el eje de referencia, los momentos de inercia también se denominan segundos
momentos de inercia. Además, vemos que los momentos de inercia de
las áreas (a diferencia de los momentos estáticos) siempre son cantidades
positivas.
Para ilustrar cómo se obtienen los momentos de inercia por integración,
consideraremos un rectángulo con ancho b y altura h (figura 12.10). Los
ejes x y y tienen su origen en el centroide C. Por conveniencia, utilizamos un
elemento diferencial de área dA en forma de una franja horizontal delgada
de ancho b y altura dy (por tanto, dA = b dy). Como todas las partes de la
franja elemental están a la misma distancia del eje x, podemos expresar el
momento de inercia I x con respecto al eje x de la siguiente manera:
I x
y 2 dA
h/2
h/2
y 2 bdy
3
bh
12
(a)
De manera similar, podemos utilizar un elemento de área en forma de una
franja vertical con área dA = h dx y obtener el momento de inercia con respecto
al eje y:
I y
x 2 dA
b/2
b/2
x 2 hdx
3
hb
12
(b)
y
dA
dy
Si se selecciona un conjunto diferente de ejes, los momentos de inercia
tendrán valores diferentes. Por ejemplo, considere el eje BB en la base del
rectángulo (figura 12.10). Si se selecciona este eje como la referencia, debemos
definir y como la distancia coordenada desde ese eje hasta el elemento
de área dA. Entonces los cálculos para el momento de inercia son
h
–
2
h
–
2
B
b
–
2
C
b
–
2
Figura 12.10 Momentos de inercia de un
rectángulo.
y
B
x
I BB
y 2 dA
0
h
y 2 bdy
bh 3
3
Observe que el momento de inercia con respecto al eje BB es mayor que el
momento de inercia con respecto al eje centroidal x. En general, el momento
de inercia aumenta conforme el eje de referencia se mueve paralelamente
a sí mismo alejándose del centroide.
El momento de inercia de un área compuesta con respecto a cualquier
eje particular es la suma de los momentos de inercia de sus partes
(c)