Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

622 CapÍtulo 8 Aplicaciones del esfuerzo plano
p
r
Figura 8.2 Sección transversal de un
recipiente esférico a presión en la que se
muestra el radio interno r, el espesor de
pared t y la presión interna p.
t
Debido a la simetría del recipiente y de su carga (figura 8.3b), el esfuerzo
de tensión s es uniforme alrededor de la circunferencia. Además, como
la pared es delgada, podemos suponer con buena precisión que el esfuerzo
está distribuido uniformemente a través del espesor t. La precisión de esta
aproximación aumenta conforme el cascarón es más delgado y disminuye a
medida que es más grueso.
La resultante de los esfuerzos de tensión s en la pared es una fuerza horizontal
igual al esfuerzo s multiplicado por el área sobre la que actúa, o
s (2pr m t)
donde t es el espesor de la pared y r m
es el radio medio:
r m
r
t
2
(b)
Por tanto, el equilibrio de fuerzas en la dirección horizontal (figura 8.3b)
da
F horiz 0 s (2pr m t) p(pr 2 ) 0 (c)
de la cual obtenemos el esfuerzo de tensión en la pared del recipiente:
s
2
pr
2r
t
m
(d)
Dado que nuestro análisis es válido sólo para cascarones delgados, podemos
descartar la diferencia pequeña entre los dos radios que aparecen en
la ecuación (d) y reemplazar r m
con r o reemplazar r con r m
. Si bien cualquier
opción es satisfactoria para este análisis aproximado, resulta que los
esfuerzos están más cercanos a los esfuerzos teóricamente exactos si usamos
el radio interno r en lugar del radio medio r m
. Por tanto, adoptaremos
la fórmula siguiente para calcular los esfuerzos de tensión en la pared de
un cascarón esférico:
s
pr
2t
(8.1)
Como es evidente de la simetría de un cascarón esférico, obtenemos la misma
ecuación para los esfuerzos de tensión cuando cortamos un plano por
el centro de la esfera en cualquier dirección. De esta manera, llegamos a la
conclusión siguiente: la pared de un recipiente esférico presurizado está
sometida a esfuerzos de tensión uniformes s en todas direcciones. Esta condición
de esfuerzo se representa en la figura 8.3c mediante el elemento de
esfuerzo pequeño con esfuerzos s que actúan en direcciones mutuamente
perpendiculares.
Los esfuerzos que actúan en sentido tangencial a la superficie del cascarón,
como los esfuerzos s que se muestran en la figura 8.3c, se conocen
como esfuerzos de membrana. El nombre se origina del hecho que son los
únicos esfuerzos que existen en membranas verdaderas, como películas de
jabón.