Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 6.7 Esfuerzos cortantes en vigas con secciones transversales abiertas de pared delgada 491
elemento y deben estar acompañados por esfuerzos cortantes suplementarios
que actúan sobre las caras transversales ad y bc, como se muestra en
la figura.
Para evaluar estos esfuerzos cortantes, sumamos las fuerzas en la dirección
x para el elemento abcd (figura 6.31c); por tanto,
ttdx F 2 F 1 0 o t tdx F 1 F 2 (a)
donde t es el espesor de la sección transversal en la cara cd del elemento.
En otras palabras, t es el espesor de la sección transversal a una distancia s
desde el borde libre (figura 6.31b). Luego obtenemos una expresión para la
fuerza F 1 empleando la ecuación (6.42):
F 1
0
s
s x dA
M
I z
z1
0
s
y dA
(b) (b)
donde dA es un elemento de área en el lado ad del elemento de volumen
abcd, y es una coordenada para el elemento dA y M z1 es el momento flexionante
en la sección transversal. Para la fuerza F 2 se obtiene una expresión
análoga:
F 2
0
s
s x dA
M
I z
z 2
0
s
ydA
Al sustituir estas expresiones para F 1 y F 2 en la ecuación (a), obtenemos
t
M z 2 M z1
dx I1
zt
0
s
ydA
(c) (c)
(d) (d)
La cantidad (M z2 – M z1 )/dx es la razón de cambio dM/dx del momento flexionante
y es igual a la fuerza cortante que actúa sobre la sección transversal
(consulte la ecuación 4.6):
dM
dx
M z2 M z1
V y (6-43) (6.43)
dx
La fuerza cortante V es paralela al eje y y es positiva en la dirección negativa
del eje y, es decir, positiva en la dirección de la fuerza P (figura 6.31). Esta
convención es consistente con la convención de signos adoptada antes en el
capítulo 4 (consulte la figura 4.5 para ver las convenciones de signos para
las fuerzas cortantes).
Al sustituir la ecuación (6.43) en la ecuación (d), obtenemos la ecuación
siguiente para el esfuerzo cortante t:
t
Vy
I t
z
0
s
ydA (6-44) (6.44)
Esta ecuación proporciona los esfuerzos cortantes en cualquier punto en la
sección transversal a una distancia s desde el borde libre. La integral en el
lado derecho representa el momento estático con respecto al eje z (el eje
neutro) del área de la sección transversal dada s = 0 hasta s = s. Denotemos
este momento estático con Q para escribir la ecuación para los esfuerzos
cortantes t en la forma más simple
t
VyQ
I t
z
z
(6-45) (6.45)
que es análoga a la fórmula estándar del cortante (ecuación 6.41).