Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

584 CapÍtulo 7 Análisis de esfuerzo y deformación unitaria
Es usual que la ecuación (7.60) se exprese en forma más compacta al sustituir
una cantidad nueva K denominada módulo de elasticidad volumétrico
o módulo de elasticidad de volumen, que se define de la siguiente
manera:
K
E
3(1 2n)
(7-61) (7.61)
Con esta notación, la expresión para el cambio de volumen unitario se convierte
en
y el módulo volumétrico es
e
K
s0
K
s0
e
(7-62) (7.62)
(7-63) (7.63)
Entonces, el módulo volumétrico se puede definir como la razón entre el
esfuerzo volumétrico y la deformación unitaria volumétrica, que es análoga
a la definición del módulo E en esfuerzo uniaxial. Observe que las fórmulas
anteriores para e y K se basan en las suposiciones de que las deformaciones
unitarias son pequeñas y la ley de Hooke es válida para el material.
De la ecuación (7.61) para K, observamos que si la relación de Poisson
n es igual a 1/3, los módulos K y E son numéricamente iguales. Si n = 0,
entonces K tiene el valor E/3 y si n = 0.5, K se vuelve infinito, lo que corresponde
a un material rígido que no tiene cambio de volumen (es decir, el
material es incompresible).
Las fórmulas anteriores para esfuerzo esférico se dedujeron para un
elemento sometido a tensión uniforme en todas las direcciones, pero, por
supuesto, las fórmulas también se aplican a un elemento en compresión
uniforme. En el caso de compresión uniforme, los esfuerzos y las deformaciones
unitarias tienen signos negativos. La compresión uniforme ocurre
cuando el material está sometido a presión uniforme en todas las direcciones;
por ejemplo, un objeto sumergido en agua o una roca a gran profundidad
en el suelo. Este estado de esfuerzo con frecuencia se denomina esfuerzo
hidrostático.
Si bien la compresión uniforme es relativamente común, un estado de
tensión uniforme es difícil de lograr, pero se puede alcanzar calentando uniformemente
de manera repentina la superficie exterior de una esfera sólida
metálica, de manera que las capas exteriores estén a una temperatura mayor
que el interior. La tendencia de las capas exteriores a dilatarse produce tensión
uniforme en todas las direcciones en el centro de la esfera.
7.7 DEFORMACIÓN UNITARIA PLANA
Las deformaciones unitarias en un punto en una estructura cargada varían de
acuerdo con la orientación de los ejes, de manera similar a la de los esfuerzos.
En esta sección deduciremos las ecuaciones de transformación que relacionan
las deformaciones unitarias en direcciones inclinadas con respecto a las
deformaciones unitarias en las direcciones de referencia. Estas ecuaciones de
transformación se usan ampliamente en investigaciones de laboratorio y
de campo que comprenden mediciones de deformaciones unitarias.